Ретрактные решетки

Аннотация

Изучаются ретрактные и слабо ретрактные решетки — решетки, все конгруэнции на которых порождаются ретракциями или слабыми ретракциями соответственно. Ретракцией (слабой ретракцией) решетки называется любой ее идемпотентный решеточный (полурешеточный) эндоморфизм.
Получены структурные свойства ретрактных и слабо ретрактных решеток (параграф 2).
Доказано, что класс всех ретрактных решеток замкнут относительно гомоморфных образов (теорема 1), конечных прямых произведений (теорема 2), прямых сумм (теорема 4) и перехода к двойственным решеткам (замечание 13), но не замкнут относительно взятия подрешеток (предложение 1) и ординальных сумм (пример 12). Пример 11 показывает, что конечные произведения цепей суть ретрактные решетки. А более широкий класс слабо ретрактных решеток замкнут относительно гомоморфных образов, конечных прямых произведений, прямых сумм и ординальных сумм (теорема 3).
В параграфе 3 рассмотрены предварительные результаты о ретракциях прямого произведения 𝑚-элементной и 𝑛-элементной цепей (предложение 2, примеры 13 и 14). Поставлена проблема нахождения числа ретракций такого произведения.
Параграф 4 содержит формулировки результатов первого автора о строении ретрактных полурешеток, дополняющих полученные утверждения о ретрактных и слабо ретрактных решетках.
Сделаны поясняющие замечания.