chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2026-27-1-139-147cheb-2189Research ArticleКраткие сообщенияРетрактные решеткиRetract latticesВечтомовЕвгений МихайловичVechtomovEvgenii Mikhailovich

доктор физико-математических наук, профессор

doctor of physical and mathematical sciences, professor

vecht@mail.ruПетровАндрей АлександровичPetrovAndrey Aleksandrovich

кандидат физико-математических наук

candidate of physical and mathematical sciences

andreipetrow@mail.ruВятский государственный университетРоссияVyatka State UniversityRussian Federation202615042026271139147Copyright © Вечтомов Е.М., Петров А.А., 20262026Вечтомов Е.М., Петров А.А.Vechtomov E.M., Petrov A.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/2189

Изучаются ретрактные и слабо ретрактные решетки — решетки, все конгруэнции на которых порождаются ретракциями или слабыми ретракциями соответственно. Ретракцией (слабой ретракцией) решетки называется любой ее идемпотентный решеточный (полурешеточный) эндоморфизм.Получены структурные свойства ретрактных и слабо ретрактных решеток (параграф 2).Доказано, что класс всех ретрактных решеток замкнут относительно гомоморфных образов (теорема 1), конечных прямых произведений (теорема 2), прямых сумм (теорема 4) и перехода к двойственным решеткам (замечание 13), но не замкнут относительно взятия подрешеток (предложение 1) и ординальных сумм (пример 12). Пример 11 показывает, что конечные произведения цепей суть ретрактные решетки. А более широкий класс слабо ретрактных решеток замкнут относительно гомоморфных образов, конечных прямых произведений, прямых сумм и ординальных сумм (теорема 3).В параграфе 3 рассмотрены предварительные результаты о ретракциях прямого произведения 𝑚-элементной и 𝑛-элементной цепей (предложение 2, примеры 13 и 14). Поставлена проблема нахождения числа ретракций такого произведения.Параграф 4 содержит формулировки результатов первого автора о строении ретрактных полурешеток, дополняющих полученные утверждения о ретрактных и слабо ретрактных решетках.Сделаны поясняющие замечания.

In this article we study retract and weakly retract lattices — lattices whose congruences are generated by retractions or weakly retractions, respectively. A retraction (weak retraction) of a lattice is any idempotent lattice (semilattice) endomorphism.We have obtained the structural properties of retract and weakly retract lattices (section 2).It is proved that the class of all retract lattices is closed under homomorphic images (Theorem 1), finite direct products (Theorem 2), direct sums (Theorem 4), and passage to dual lattices (Remark 13), but not under taking sublattices (Proposition 1) and ordinal sums (Example 12). Example 11 shows that the finite products of chains are retract lattices. A wider class of weakly retract lattices is closed under homomorphic images, finite direct products, direct sums, and ordinal sums (Theorem 3).In section 3, preliminary results are presented on the retractions of the direct product of an 𝑚-element and an 𝑛-element chain (Proposition 2, Examples 13 and 14). The problem of finding the number of retractions of such a product is posed.Section 4 contains the first author’s results on the structure of retract semilattices, which complement the results on retract and weakly retract lattices.Explanatory notes are made.

решеткаретракцияретрактная решеткаслабо ретрактная решетка.latticeretractionretract latticeweakly retract lattice.ReferencesВечтомов Е. М. Ретрактные полурешетки // Алгебра и динамические системы: тезисы докладов Международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения В. А. Белоногова. Нальчик: Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х. М. Бербекова, 2025. С. 18–21.Vechtomov E. M. 2025, “Retract semilattices”, Algebra and Dynamic Systems: abstracts of the international conference dedicated to the 90th anniversary of V. A. Belonogov, Nalchik: Kabardino-Balkarian State University named after Kh. M. Berbekov, pp. 18–21.Вечтомов Е. М., Петров А. А. О полумодулях над тривиальным полукольцом // Чебышевский сборник. 2025. Т. 26. Вып. 3. С. 85–94.Vechtomov E. M., Petrov A. A. 2025, “About semimodules over the trivial semiring”, Chebyshevskii Sbornik, V. 26, Issue 3, pp. 85–94.Гретцер Г. Общая теория решеток. М.: Мир, 1982. 456 с.Gr¨atzer G. “General Lattice Theory”, Moscow: Mir, 1982. 456 p.Скорняков Л. А. Элементы теории структур. 2-е изд. М.: Наука, 1982. 160 с.Skornyakov L A. “Elements of theory of structures. 2nd ed.”, Moscow: Nauka, 1982. 160 p.Cz´edli G. Lattices of retracts of direct products of two finite chains and notes on retracts of lattices // Algebra Universalis. 2022. V. 83, Issue 3. №34.Cz´edli G. 2022, “Lattices of retracts of direct products of two finite chains and notes on retracts of lattices”, Algebra Universalis, V. 83, Issue 3, №34.Howie J. M. Products of idempotents in certain semigroups of transformations // Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society. 1971. V. 17. Issue 3. P. 223–236.Howie J. M. 1971, “Products of idempotents in certain semigroups of transformations”, Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society, V. 17, Issue 3, pp. 223–236.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.