Явное решение критических подсистем интегрируемого семейства Ковалевской – Чаплыгина
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2026-27-1-77-96
Аннотация
Работа посвящена изучению фазовой топологии интегрируемого случая Ковалевской – Чаплыгина в динамике твёрдого тела. Этот случай, с одной стороны, является обобщением классических случаев Ковалевской и Чаплыгина, а с другой стороны, вписывается в 6-параметрическое семейство гамильтоновых систем с двумя степенями свободы, интегрируемых при нулевом значении интеграла площадей. Для рассматриваемой задачи детально изучены критические подсистемы — системы с одной степенью свободы, являющиеся ограничением исходной гамильтоновой системы на критическое множество отображения момента. Получена явная параметризация критического множества, что как следствие даёт бифуркационную диаграмму и образ отображения момента. Для всех пяти критических подсистем при каждом значении интеграла энергии и параметра задачи получено их явное
решение в эллиптических квадратурах. Кроме того, для каждой критической подсистемы описаны бифуркации интегральных траекторий при изменении уровня энергии. Оказалось, что все нетривиальные бифуркации седлового типа исчерпываются 2-атомами 𝐵 и 𝐶2 (стандартные перестройки двух критических окружностей в одну и двух окружностей в две соответственно).
Ключевые слова
интегрируемая система,
критическая подсистема,
бифуркационная диаграмма,
решение в квадратурах,
2-атом,
молекула.
При поддержке: Исследование поддержано Российским научным фондом (проект 25-21-00086) и выполнено в Московском физико-техническом институте (национальном исследовательском университете).
Об авторах
Станислав Сергеевич Николаенко
физико-технический институт (национальный исследовательский университет)
Россия
Россия
кандидат физико-математических наук
Павел Евгеньевич Рябов
Московский физикотехнический институт (национальный исследовательский университет)
Россия
Россия
доктор физико-математических наук
Сергей Викторович Соколов
Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)
Россия
Россия
доктор физико-математических наук
Список литературы
1. Yehia H. M. New integrable problems in the dynamics of rigid bodies with the Kovalevskaya configuration: I. The case of axisymmetric forces // Mech. Res. Com. 1996. Vol. 23, №5. P. 423–427.
2. Tsiganov A. V. On the Kowalevski-Goryachev-Chaplygin gyrostat // J. Phys. A: Math. Gen. 2002. Vol. 35, №22. P. L309–L318.
3. Цыганов А. В. Разделение переменных в гиростате Ковалевской–Горячева–Чаплыгина // ТМФ. 2003. Том 135, №2. С. 240–247.
4. Yehia H. M. Comment on “On the Kowalevsky–Goryachev–Chaplygin gyrostat” // J. Phys. A: Math. Gen. 2002. Vol. 35, №49. P. 10669–10670.
5. Kowalevski S. Sur le probl‘eme de la rotation d’un corps solide autour d’un point fixe // Acta Math. 1889. Vol. 12. P. 177–232.
6. Харламов М. П. Бифуркации совместных уровней первых интегралов в случае Ковалевской // Прикл. матем. и механ. 1983. Том 47, №6. С. 922–930.
7. Харламов М. П. Топологический анализ интегрируемых задач динамики твердого тела. Л.: Изд-во ЛГУ, 1988. 200 с.
8. Болсинов А. В., Рихтер П., Фоменко А.Т. Метод круговых молекул и топология волчка Ковалевской // Матем. сб. 2000. Том 191, №2. С. 3–42.
9. Харламов М.П. Топологический анализ и булевы функции: I. Методы и приложения к классическим системам // Нелинейная динам. 2010. Том 6, №4. С. 769–805.
10. Чаплыгин С. А. Новое частное решение задачи о движении твёрдого тела в жидкости // Тр. отд. физ. наук общ-ва любителей естествознания. 1903. Том 11, №2. С. 7–10.
11. Ryabov P. E., Orel O. E. Bifurcation sets in a problem on motion of a rigid body in fluid and in the generalization of this problem // Regul. Chaotic Dyn. 1998. Vol. 3, №2. P. 82–91.
12. Рябов П. Е. Фазовая топология задачи Чаплыгина о движении твёрдого тела в жидкости // Механика твёрдого тела. 2000. №30. С. 140–150.
13. Николаенко С. С. Топологическая классификация систем Чаплыгина в динамике твердого тела в жидкости // Матем. сб. 2014. Том 205, №2. С. 75–122.
14. Fomenko A. T., Nikolaenko S. S. The Chaplygin case in dynamics of a rigid body in fluid is orbitally equivalent to the Euler case in rigid body dynamics and to the Jacobi problem about geodesics on the ellipsoid // J. Geom. Phys. 2015. Vol. 87. P. 115–133.
15. Ryabov P. E. Bifurcation sets in an integrable problem on motion of a rigid body in fluid // Regul. Chaotic Dyn. 1999. Vol. 4, №4. P. 59–76.
16. Ryabov P. E., Orel O.E. Topology, bifurcations and Liouville classification of Kirchhoff equations with an additional integral of fourth degree // J. Phys. A: Math. Gen. 2001. Vol. 34, №11. P. 2149–2163.
17. Болсинов А. В., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация. В 2 т. Ижевск: Изд. дом “Удмуртский университет”, 1999. 444 с., 447 с.
Рецензия
Для цитирования:
Николаенко С.С., Рябов П.Е., Соколов С.В. Явное решение критических подсистем интегрируемого семейства Ковалевской – Чаплыгина. Чебышевский сборник. 2026;27(1):77-96. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2026-27-1-77-96
For citation:
Nikolaenko S.S., Ryabov P.E., Sokolov S.V. Explicit solution of the critical subsystems for the Kovalevskaya-Chaplygin integrable family. Chebyshevskii Sbornik. 2026;27(1):77-96. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2026-27-1-77-96
Просмотров:
16
JATS XML
Послать статью по эл. почте 