chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2026-27-1-77-96cheb-2185Research ArticleСтатьиArticleЯвное решение критических подсистем интегрируемого семейства Ковалевской – ЧаплыгинаExplicit solution of the critical subsystems for the Kovalevskaya-Chaplygin integrable familyНиколаенкоСтанислав СергеевичNikolaenkoStanislav Sergeevich

кандидат физико-математических наук

candidate of physical and mathematical sciences

nikolaenko.s@phystech.eduРябовПавел ЕвгеньевичRyabovPavel Evgenyevich

доктор физико-математических наук

doctor of physical and mathematical sciences

ryabov.pe@mipt.ruСоколовСергей ВикторовичSokolovSergey Viktorovich

доктор физико-математических наук

doctor of physical and mathematical sciences

sokolov.sv@phystech.eduфизико-технический институт (национальный исследовательский университет)РоссияMoscow Institute of Physics and Technology (National Research University)Russian FederationМосковский физикотехнический институт (национальный исследовательский университет)РоссияMoscow Institute of Physics and Technology (National Research University)Russian FederationМосковский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)РоссияMoscow Institute of Physics and Technology (National Research University)Russian Federation2026150420262717796Copyright © Николаенко С.С., Рябов П.Е., Соколов С.В., 20262026Николаенко С.С., Рябов П.Е., Соколов С.В.Nikolaenko S.S., Ryabov P.E., Sokolov S.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/2185

Работа посвящена изучению фазовой топологии интегрируемого случая Ковалевской – Чаплыгина в динамике твёрдого тела. Этот случай, с одной стороны, является обобщением классических случаев Ковалевской и Чаплыгина, а с другой стороны, вписывается в 6-параметрическое семейство гамильтоновых систем с двумя степенями свободы, интегрируемых при нулевом значении интеграла площадей. Для рассматриваемой задачи детально изучены критические подсистемы — системы с одной степенью свободы, являющиеся ограничением исходной гамильтоновой системы на критическое множество отображения момента. Получена явная параметризация критического множества, что как следствие даёт бифуркационную диаграмму и образ отображения момента. Для всех пяти критических подсистем при каждом значении интеграла энергии и параметра задачи получено их явноерешение в эллиптических квадратурах. Кроме того, для каждой критической подсистемы описаны бифуркации интегральных траекторий при изменении уровня энергии. Оказалось, что все нетривиальные бифуркации седлового типа исчерпываются 2-атомами 𝐵 и 𝐶2 (стандартные перестройки двух критических окружностей в одну и двух окружностей в две соответственно).

In this paper we study the phase topology for the Kovalevskaya – Chaplygin integrable case in rigid body dynamics. On the one hand, it is the generalization of the classical Kovalevskaya and Chaplygin cases. On the other hand, it is inscribed in the 6-parameter family of partiallyintegrable (under zero value of the area integral) Hamiltonian systems with two degrees of freedom. For the given problem, we study in details the critical subsystems — Hamiltonian systems with one degree of freedom which are restrictions of the initial system to the criticalset of the momentum mapping. We obtain an explicit parametrization of the critical set which gives the bifurcation diagram and the image of the momentum mapping. For all five critical subsystems we provide their explicit solutions in elliptic quadratures under constant value ofthe energy integral and the parameter of the problem. Besides that, for each critical subsystem we describe the bifurcations of the integral trajectories under the change of the energy level. It turns out that all non-trivial bifurcations of the saddle type are 2-atoms 𝐵 and 𝐶2 (standard transformations of two critical circles into one or two circles respectively).

интегрируемая системакритическая подсистемабифуркационная диаграммарешение в квадратурах2-атоммолекула.integrable systemcritical subsystembifurcation diagramsolution in quadratures2-atommolecule.Исследование поддержано Российским научным фондом (проект 25-21-00086) и выполнено в Московском физико-техническом институте (национальном исследовательском университете).ReferencesYehia H. M. New integrable problems in the dynamics of rigid bodies with the Kovalevskaya configuration: I. The case of axisymmetric forces // Mech. Res. Com. 1996. Vol. 23, №5. P. 423–427.Yehia, H. M. 1996, “New integrable problems in the dynamics of rigid bodies with the Kovalevskaya configuration: I. The case of axisymmetric forces”, Mech. Res. Com., vol. 23, no. 5, pp. 423–427.Tsiganov A. V. On the Kowalevski-Goryachev-Chaplygin gyrostat // J. Phys. A: Math. Gen. 2002. Vol. 35, №22. P. L309–L318.Tsiganov, A. V. 2002, “On the Kowalevski-Goryachev-Chaplygin gyrostat”, J. Phys. A: Math. Gen., vol. 35, no. 22, pp. L309–L318.Цыганов А. В. Разделение переменных в гиростате Ковалевской–Горячева–Чаплыгина // ТМФ. 2003. Том 135, №2. С. 240–247.Tsiganov, A. V. 2003, “Separation of Variables in the Kovalevskaya–Goryachev–Chaplygin Gyrostat”, Theoretical and Mathematical Physics, vol. 135, no. 2, pp. 651–658.Yehia H. M. Comment on “On the Kowalevsky–Goryachev–Chaplygin gyrostat” // J. Phys. A: Math. Gen. 2002. Vol. 35, №49. P. 10669–10670.Yehia, H. M. 2002, “Comment on ‘On the Kowalevsky-Goryachev-Chaplygin gyrostat’ ”, J. Phys. A: Math. Gen., vol. 35, no. 49, pp. 10669–10670.Kowalevski S. Sur le probl‘eme de la rotation d’un corps solide autour d’un point fixe // Acta Math. 1889. Vol. 12. P. 177–232.Kowalevski, S. 1889, “Sur le probl‘eme de la rotation d’un corps solide autour d’un point fixe”, Acta Math., vol. 12, pp. 177–232.Харламов М. П. Бифуркации совместных уровней первых интегралов в случае Ковалевской // Прикл. матем. и механ. 1983. Том 47, №6. С. 922–930.Kharlamov, M.P. 1983, “Bifurcation of common levels of first integrals of the Kovalevskaya problem”, J. Appl. Math. Mech., vol. 47, no. 6, pp. 737–743.Харламов М. П. Топологический анализ интегрируемых задач динамики твердого тела. Л.: Изд-во ЛГУ, 1988. 200 с.Kharlamov, M.P. 1988, “Topological analysis of integrable problems of rigid body dynamics”, Leningrad. Univ., Leningrad, 200 pp. (In Russian).Болсинов А. В., Рихтер П., Фоменко А.Т. Метод круговых молекул и топология волчка Ковалевской // Матем. сб. 2000. Том 191, №2. С. 3–42.Bolsinov, A. V, Richter, P. H. & Fomenko, A. T. 2000, “The method of loop molecules and the topology of the Kovalevskaya top”, Sb. Math., vol. 191, no. 2, pp. 151–188.Харламов М.П. Топологический анализ и булевы функции: I. Методы и приложения к классическим системам // Нелинейная динам. 2010. Том 6, №4. С. 769–805.Kharlamov, M.P. 2010, “Topological analysis and Boolean functions. I. Methods and applications to classical systems”, Nelin. Dinam., vol. 6, no. 4, pp. 769–805. (In Russian).Чаплыгин С. А. Новое частное решение задачи о движении твёрдого тела в жидкости // Тр. отд. физ. наук общ-ва любителей естествознания. 1903. Том 11, №2. С. 7–10.Chaplygin, S. A. 1903, “A new particular solution of the problem of motion of a rigid body in a fluid”, Tr. Otdel. Fiz. Nauk Obshch. Lubitelei Estestvozn., vol. 11, no. 2, pp. 7–10. (In Russian).Ryabov P. E., Orel O. E. Bifurcation sets in a problem on motion of a rigid body in fluid and in the generalization of this problem // Regul. Chaotic Dyn. 1998. Vol. 3, №2. P. 82–91.Ryabov, P. E. & Orel, O. E. 1998, “Bifurcation sets in a problem on motion of a rigid body in fluid and in the generalization of this problem”, Regul. Chaotic Dyn., vol. 3, no. 2, pp. 82–91.Рябов П. Е. Фазовая топология задачи Чаплыгина о движении твёрдого тела в жидкости // Механика твёрдого тела. 2000. №30. С. 140–150.Ryabov, P. E. 2000, “Phase topology of the Chaplygin problem on the motion of a rigid body in a fluid”, Mekh. Tverd. Tela, no. 30, pp. 140–150. (In Russian).Николаенко С. С. Топологическая классификация систем Чаплыгина в динамике твердого тела в жидкости // Матем. сб. 2014. Том 205, №2. С. 75–122.Nikolaenko, S. S. 2014, “A topological classification of the Chaplygin systems in the dynamics of a rigid body in a fluid”, Sb. Math., vol. 205, no. 2, pp. 224–268.Fomenko A. T., Nikolaenko S. S. The Chaplygin case in dynamics of a rigid body in fluid is orbitally equivalent to the Euler case in rigid body dynamics and to the Jacobi problem about geodesics on the ellipsoid // J. Geom. Phys. 2015. Vol. 87. P. 115–133.Fomenko, A. T. & Nikolaenko, S. S. 2015, “The Chaplygin case in dynamics of a rigid body in fluid is orbitally equivalent to the Euler case in rigid body dynamics and to the Jacobi problem about geodesics on the ellipsoid”, J. Geom. Phys., vol. 87, pp. 115–133.Ryabov P. E. Bifurcation sets in an integrable problem on motion of a rigid body in fluid // Regul. Chaotic Dyn. 1999. Vol. 4, №4. P. 59–76.Ryabov, P. E. 1999, “Bifurcation sets in an integrable problem on motion of a rigid body in fluid”, Regul. Chaotic Dyn., vol. 4, no. 4, pp. 59–76.Ryabov P. E., Orel O.E. Topology, bifurcations and Liouville classification of Kirchhoff equations with an additional integral of fourth degree // J. Phys. A: Math. Gen. 2001. Vol. 34, №11. P. 2149–2163.Ryabov, P. E. & Orel, O. E. 2001, “Topology, bifurcations and Liouville classification of Kirchhoff equations with an additional integral of fourth degree”, J. Phys. A: Math. Gen., vol. 34, no. 11, pp. 2149–2163.Болсинов А. В., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация. В 2 т. Ижевск: Изд. дом “Удмуртский университет”, 1999. 444 с., 447 с.Bolsinov, A. V. & Fomenko, A. T. 2004, “Integrable Hamiltonian systems. Geometry, topology, classification”, Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL, 730 pp.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.