Основы теории непрерывного расстояния Громова – Хаусдорфа
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2026-27-1-19-50
Аннотация
Расстояние Громова – Хаусдорфа (в дальнейшем ГХ-расстояние) является мерой неизометричности метрических пространств. В настоящей работе изучается модификация этого расстояния, при которой также учитываются и топологические различия. Полученная функция пар метрических пространств была названа непрерывным ГХ-расстоянием.
Мы показываем, что многие базовые свойства классического ГХ-расстояния также имеют место и в непрерывном случае. Тем не менее непрерывное ГХ-расстояние, различая топологии, может существенно отличаться от классического. Мы приведем многочисленные примеры отличия, покажем, какую роль здесь играет топологическая размерность.
В частности, мы докажем, что непрерывное ГХ-расстояние, как и классическое, является внутренним, но, в отличие от классического, неполным. Так как мы имеем дело со всеми
метрическими пространствами, мы в рамках теории фон Неймана – Бернайса – Гёделя, покажем, как можно перенести топологические понятия и на собственные классы.
Ключевые слова
метрическое пространство,
расстояние Хаусдорфа,
расстояние Громова – Хаусдорфа,
топологическая размерность,
малая и большая индуктивные размерности,
гиперпространство,
континуум.
При поддержке: Работа А.А.Тужилина выполнена за счет гранта Российского научного фонда (проект 25-21-00152) и при поддержке Китайско-Российского математического центра в Пекинском университете.
Об авторах
Семеон Антонович Богатый
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Россия
Россия
доктор физико-математических наук, профессор
Алексей Августинович Тужилин
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Россия
Россия
доктор физико-математических наук, профессор
Список литературы
1. Rieffel M. A. Gromov-Hausdorff Distance for Quantum Metric Spaces // ArXiv e-prints 2003. arXiv:math/0011063 [math.OA].
2. Lim S., Memoli F., Smith Z. The Gromov–Hausdorff distance between spheres // Geometry & Topology. 2023. Vol. 27, №9. P. 3733–3800.
3. Lee J., Morales C. A. Gromov-Hausdorff Stability of Dynamical Systems and Applications to PDEs. Birkh¨auser/Springer, 2022.
4. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М.: Наука, 1984.
5. Banach T. Classical set theory: theory of sets and classes // ArXiv e-prints 2023. arXiv:2006.01613v4[math.LO].
6. Gromov M. Structures m´etriques pour les vari´et´es riemanniennes. Edited by Lafontaine and Pierre Pansu, 1981.
7. Gromov M. Metric structures for Riemannian and non-Riemannian spaces. Birkh¨auser, 1999.
8. Бураго Д. Ю., Бураго Ю.Д., Иванов С. В. Курс метрической геометрии. Москва-Ижевск, Институт компьютерных исследований, 2004.
9. Bing R. H. A homogeneous indecomposable plane continuum // Duke Math. J. 1948. Vol. 15. P. 729–742.
10. Bogatyy S. A., Tuzhilin A. A. Gromov–Hausdorff class: its completeness and cloud geometry // ArXiv e-prints 2021. arXiv:2110.06101[math.MG].
11. Богатый С. А., Тужилин А. А. Действие преобразования подобия на семействах метрических пространств // Итоги науки и техн. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз. 2023. Т. 223. P. 3–13.
12. Bogataya S. I., Bogatyy S. A., Redkozubov V. V., Tuzhilin A. A. Clouds in Gromov–Hausdorff Class: their completeness and centers // Topology and its Applications. 2023. Vol. 329.
13. Bogatyy S. A., Tuzhilin A. A. Continuous Gromov–Hausdorff class: its completeness and cloud geometry // ArXiv e-prints 2021. arXiv:2110.06101[math.MG].
14. Фет А. И. Обобщение теоремы Люстерника–Шнирельмана о покрытиях сфер и некоторых связанных с ней теорем // ДАН. 1954. Т. 95, №6. С. 1149–1151.
15. Вихров А. А. Проблема построения геодезических в классе Громова – Хаусдорфа: оптимальная хаусдорфова реализация не всегда существует // Чебышевский сборник. 2025. Т. 26, №2. С. 49–60.
16. Vikhrov A. Geometry of linear and nonlinear geodesics in the proper Gromov–Hausdorff class // Matematicki vesnik. 2025. P. 1–17.
17. Stone A. H. Paracompactness and product spaces // Bull. Amer. Math. Soc. 1948. Vol. 54. P. 977–982.
18. Engelking R. General Topology. Warszawa, 1985.
19. Munkres J. R. Topology. 2nd Edition, Prentice Hall, Upper Saddle River, 2000.
20. Dowker C. H. Mapping theorems for non-compact spaces // Amer. J. Math. 1947. Vol. 69. P. 200–242.
21. Nagami K., Roberts J. H. Metric-dependent dimension functions // Proc. Amer. Math. Soc. 1965. Vol. 16, №4. P. 601–604.
22. Illanes A., Nadler S. Jr. Hyperspaces // Marcel Dekker, New York, 1999.
23. Knaster B. Un continu dont tout sous-continu est indecomposable // Fund. Math. 1922. Vol. 3. P. 247–286.
24. Moise E. E. An indecomposable plane continuum which is homeomorphic to each of its nondegenerate subcontinua // Trans. Amer. Math. Soc. 1948. Vol. 63. P. 581–594.
25. Bing R. H. Concerning hereditarily indecomposable continua // Pacific J. Math. 1951. Vol. 1. P. 43–51.
26. Cook H. Continua which admit only the identity mapping onto non-degenerate subcontinua // Fundamenta Mathematicae 1967. Vol. 60. P. 241–249.
27. Borzov S. I., Ivanov A. O., Tuzhilin A. A. Extendability of Metric Segments in Gromov-Hausdorff Distance // ArXiv e-prints 2020. arXiv:2009.00458[math.MG].
Рецензия
Для цитирования:
Богатый С.А., Тужилин А.А. Основы теории непрерывного расстояния Громова – Хаусдорфа. Чебышевский сборник. 2026;27(1):19-50. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2026-27-1-19-50
For citation:
Bogatyi S.A., Tuzhilin A.A. Fundamentals of theory of continuous Gromov-Hausdorff distance. Chebyshevskii Sbornik. 2026;27(1):19-50. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2026-27-1-19-50
Просмотров:
14
JATS XML
Послать статью по эл. почте 