chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2026-27-1-19-50cheb-2182Research ArticleСтатьиArticleОсновы теории непрерывного расстояния Громова – ХаусдорфаFundamentals of theory of continuous Gromov-Hausdorff distanceБогатыйСемеон АнтоновичBogatyiSemeon Antonovich

доктор физико-математических наук, профессор

doctor of physical and mathematical sciences, professor

bogatyi@inbox.ruТужилинАлексей АвгустиновичTuzhilinAlexey Avgustinovich

доктор физико-математических наук, профессор

doctor of physical and mathematical sciences, professor

tuz@mech.math.msu.suМосковский государственный университет имени М. В. ЛомоносоваРоссияLomonosov Moscow State UniversityRussian Federation2026150420262711950Copyright © Богатый С.А., Тужилин А.А., 20262026Богатый С.А., Тужилин А.А.Bogatyi S.A., Tuzhilin A.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/2182

Расстояние Громова – Хаусдорфа (в дальнейшем ГХ-расстояние) является мерой неизометричности метрических пространств. В настоящей работе изучается модификация этого расстояния, при которой также учитываются и топологические различия. Полученная функция пар метрических пространств была названа непрерывным ГХ-расстоянием.Мы показываем, что многие базовые свойства классического ГХ-расстояния также имеют место и в непрерывном случае. Тем не менее непрерывное ГХ-расстояние, различая топологии, может существенно отличаться от классического. Мы приведем многочисленные примеры отличия, покажем, какую роль здесь играет топологическая размерность.В частности, мы докажем, что непрерывное ГХ-расстояние, как и классическое, является внутренним, но, в отличие от классического, неполным. Так как мы имеем дело со всемиметрическими пространствами, мы в рамках теории фон Неймана – Бернайса – Гёделя, покажем, как можно перенести топологические понятия и на собственные классы.

The Gromov–Hausdorff distance (hereinafter referred to as the GH-distance) is a measure of non-isometricity of metric spaces. In this paper, we study a modification of this distance that also takes topological differences into account. The resulting function of pairs of metric spaces is called the continuous GH-distance. We show that many basic properties of the classical GH-distance also hold in the continuous case. However, the continuous GH-distance, distinguishing between topologies, can differ significantly from the classical one. We will provide numerous examples of this distinction and demonstrate the role of topological dimension here.In particular, we will prove that the continuous GH-distance, like the classical one, is intrinsic, but, unlike the classical one, it is incomplete. Since we are dealing with all metric spaces, we will show, within the framework of the von Neumann-Bernays-G¨odel theory, how topological concepts can be transferred to proper classes.

метрическое пространстворасстояние Хаусдорфарасстояние Громова – Хаусдорфатопологическая размерностьмалая и большая индуктивные размерностигиперпространствоконтинуум.metric spaceHausdorff distanceGromov-Hausdorff distancetopological dimensionsmall and large inductive dimensionshyperspacecontinuum.Работа А.А.Тужилина выполнена за счет гранта Российского научного фонда (проект 25-21-00152) и при поддержке Китайско-Российского математического центра в Пекинском университете.ReferencesRieffel M. A. Gromov-Hausdorff Distance for Quantum Metric Spaces // ArXiv e-prints 2003. arXiv:math/0011063 [math.OA].Rieffel, M. A. 2003, “Gromov-Hausdorff Distance for Quantum Metric Spaces”, ArXiv e-prints, arXiv:math/0011063[math.OA].Lim S., Memoli F., Smith Z. The Gromov–Hausdorff distance between spheres // Geometry & Topology. 2023. Vol. 27, №9. P. 3733–3800.Lim, S., Memoli, F. & Smith, Z. 2023, “The Gromov–Hausdorff distance between spheres”, Geometry & Topology, vol. 27, no. 9, pp. 3733–3800.Lee J., Morales C. A. Gromov-Hausdorff Stability of Dynamical Systems and Applications to PDEs. Birkh¨auser/Springer, 2022.Lee, J. & Morales, C. A. 2022, “Gromov-Hausdorff Stability of Dynamical Systems and Applications to PDEs”, Birkh¨auser/Springer.Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М.: Наука, 1984.Mendelson, E. 1984, “Introduction to Mathematical Logic”, M.: Nauka.Banach T. Classical set theory: theory of sets and classes // ArXiv e-prints 2023. arXiv:2006.01613v4[math.LO].Banach, T. 2023, “Classical set theory: theory of sets and classes”, ArXiv e-prints, arXiv:2006.01613v4[math.LO].Gromov M. Structures m´etriques pour les vari´et´es riemanniennes. Edited by Lafontaine and Pierre Pansu, 1981.Gromov, M. 1981, “Structures m´etriques pour les vari´et´es riemanniennes”, Edited by Lafontaine and Pierre Pansu.Gromov M. Metric structures for Riemannian and non-Riemannian spaces. Birkh¨auser, 1999.Gromov, M. 1999, “Metric structures for Riemannian and non-Riemannian spaces”, Birkh¨auser.Бураго Д. Ю., Бураго Ю.Д., Иванов С. В. Курс метрической геометрии. Москва-Ижевск, Институт компьютерных исследований, 2004.Burago, D., Burago, Yu. & Ivanov, S. 2001, “A Course in Metric Geometry”, Providence.Bing R. H. A homogeneous indecomposable plane continuum // Duke Math. J. 1948. Vol. 15. P. 729–742.Bing, R. H. 1948, “A homogeneous indecomposable plane continuum”, Duke Math. J., vol. 15, pp. 729–742.Bogatyy S. A., Tuzhilin A. A. Gromov–Hausdorff class: its completeness and cloud geometry // ArXiv e-prints 2021. arXiv:2110.06101[math.MG].Bogatyy, S. A. & Tuzhilin, A. A. 2021, “Gromov–Hausdorff class: its completeness and cloud geometry”, ArXiv e-prints, arXiv:2110.06101[math.MG].Богатый С. А., Тужилин А. А. Действие преобразования подобия на семействах метрических пространств // Итоги науки и техн. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз. 2023. Т. 223. P. 3–13.Bogatyy, S. A. & Tuzhilin, A. A. 2023, “Action of similarity transformation on families of metric spaces”, Itogi Nauki i Tekhn., vol. 223, pp. 3–13.Bogataya S. I., Bogatyy S. A., Redkozubov V. V., Tuzhilin A. A. Clouds in Gromov–Hausdorff Class: their completeness and centers // Topology and its Applications. 2023. Vol. 329.Bogataya, S. I., Bogatyy, S. A., Redkozubov, V. V. & Tuzhilin, A. A. 2023, “Clouds in Gromov– Hausdorff Class: their completeness and centers”, Topology and its Applications, vol. 329.Bogatyy S. A., Tuzhilin A. A. Continuous Gromov–Hausdorff class: its completeness and cloud geometry // ArXiv e-prints 2021. arXiv:2110.06101[math.MG].Bogatyy, S. A. & Tuzhilin, A. A. 2021, “Continuous Gromov–Hausdorff class: its completeness and cloud geometry”, ArXiv e-prints, arXiv:2110.06101[math.MG].Фет А. И. Обобщение теоремы Люстерника–Шнирельмана о покрытиях сфер и некоторых связанных с ней теорем // ДАН. 1954. Т. 95, №6. С. 1149–1151.Fet, A. I. 1954, “A generalization of the Lyusternik-Shnirelman theorem on coverings of spheres and some related theorems”, DAN, vol. 95, no. 6, pp. 1149–1151.Вихров А. А. Проблема построения геодезических в классе Громова – Хаусдорфа: оптимальная хаусдорфова реализация не всегда существует // Чебышевский сборник. 2025. Т. 26, №2. С. 49–60.Vikhrov, A. A. 2025, “The problem of constructing geodesics in the Gromov–Hausdorff class: an optimal Hausdorff implementation does not always exist”, Chebyshevski sb., vol. 26, no. 2, pp. 49–60.Vikhrov A. Geometry of linear and nonlinear geodesics in the proper Gromov–Hausdorff class // Matematicki vesnik. 2025. P. 1–17.Vikhrov, A. 2025, “Geometry of linear and nonlinear geodesics in the proper Gromov–Hausdorff class”, Matematicki vesnik, pp. 1–17.Stone A. H. Paracompactness and product spaces // Bull. Amer. Math. Soc. 1948. Vol. 54. P. 977–982.Stone, A. H. 1948, “Paracompactness and product spaces”, Bull. Amer. Math. Soc., vol. 54, pp. 977–982.Engelking R. General Topology. Warszawa, 1985.Engelking, R. 1985, “General Topology”, Warszawa.Munkres J. R. Topology. 2nd Edition, Prentice Hall, Upper Saddle River, 2000.Munkres, J. R., 2000, “Topology”, 2nd Edition, Prentice Hall, Upper Saddle River.Dowker C. H. Mapping theorems for non-compact spaces // Amer. J. Math. 1947. Vol. 69. P. 200–242.Dowker, C. H. 1947, “Mapping theorems for non-compact spaces”, Amer. J. Math., vol. 69, pp.Nagami K., Roberts J. H. Metric-dependent dimension functions // Proc. Amer. Math. Soc. 1965. Vol. 16, №4. P. 601–604.–242.Illanes A., Nadler S. Jr. Hyperspaces // Marcel Dekker, New York, 1999.Nagami, K. & Roberts, J. H. 1965, “Metric-dependent dimension functions”, Proc. Amer. Math. Soc., vol. 16, no. 4, pp. 601–604.Knaster B. Un continu dont tout sous-continu est indecomposable // Fund. Math. 1922. Vol. 3. P. 247–286.Illanes, A. & Nadler, S. Jr. 1999, “Hyperspaces”, Marcel Dekker, New York.Moise E. E. An indecomposable plane continuum which is homeomorphic to each of its nondegenerate subcontinua // Trans. Amer. Math. Soc. 1948. Vol. 63. P. 581–594.Knaster, B. 1922, “Un continu dont tout sous-continu est indecomposable”, Fund. Math., vol. 3, pp. 247–286.Bing R. H. Concerning hereditarily indecomposable continua // Pacific J. Math. 1951. Vol. 1. P. 43–51.Moise, E. E. 1948, “An indecomposable plane continuum which is homeomorphic to each of its nondegenerate subcontinua”, Trans. Amer. Math. Soc., vol. 63, pp. 581–594.Cook H. Continua which admit only the identity mapping onto non-degenerate subcontinua // Fundamenta Mathematicae 1967. Vol. 60. P. 241–249.Bing, R. H. 1951, “Concerning hereditarily indecomposable continua”, Pacific J. Math., vol. 1, pp. 43–51.Borzov S. I., Ivanov A. O., Tuzhilin A. A. Extendability of Metric Segments in Gromov-Hausdorff Distance // ArXiv e-prints 2020. arXiv:2009.00458[math.MG].Cook, H. 1967, “Continua which admit only the identity mapping onto non-degenerate subcontinua”, Fundamenta Mathematicae, vol. 60, pp. 241–249.Borzov, S. I., Ivanov, A. O. & Tuzhilin, A. A. 2020, “Extendability of Metric Segments in Gromov-Hausdorff Distance”, ArXiv e-prints, arXiv:2009.00458[math.MG].Borzov, S. I., Ivanov, A. O. & Tuzhilin, A. A. 2020, “Extendability of Metric Segments in Gromov-Hausdorff Distance”, ArXiv e-prints, arXiv:2009.00458[math.MG].

The authors declare that there are no conflicts of interest present.