Об одной цепи Маркова, связанной с системой счисления

Аннотация

Исследуется задача нахождения стационарной цепи Маркова с максимальной энтропией на множестве бесконечных двоичных последовательностей, запрещающих появление трёх единиц подряд. Установлена связь этой задачи с системой счисления с нецелым основанием, изученной А. О. Гельфондом. Дана вероятностная интерпретация распределения остатков Гельфонда в терминах эргодической цепи Маркова с тремя состояниями. В качестве основного результата явно указаны параметры искомой экстремальной цепи. Показано, что матрица переходных вероятностей и стационарное распределение выражаются через корень 𝜃 > 1 уравнения 1 = 𝜃−1 + 𝜃−2 + 𝜃−3. Энтропия найденной цепи равна ln 𝜃, что определяет максимально достижимую непредсказуемость в классе рассматриваемых
последовательностей с данным запретом.