chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2025-26-5-299-306cheb-2136Research ArticleКраткие сообщенияОб одной цепи Маркова, связанной с системой счисленияAbout a Markov chain connected with the number systemТюринСтанислав ЕвгеньевичTyurinStanislav Evgenievichstanislav.turin@math.msu.ruСоболевВиталий НиколаевичSobolevVitaliy Nikolaevich

кандидат физико-математических наук

candidate of physical and mathematical sciences

vitalii.sobolev@math.msu.ruМосковский государственный университет имени М. В. ЛомоносоваРоссияLomonosov Moscow State UniversityRussian FederationМосковский государственный университет имени М. В. Ломоносова; РТУ МИРЭАРоссияLomonosov Moscow State University; RTU MIREARussian Federation202521012026265299306Copyright © Тюрин С.Е., Соболев В.Н., 20262026Тюрин С.Е., Соболев В.Н.Tyurin S.E., Sobolev V.N.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/2136

Исследуется задача нахождения стационарной цепи Маркова с максимальной энтропией на множестве бесконечных двоичных последовательностей, запрещающих появление трёх единиц подряд. Установлена связь этой задачи с системой счисления с нецелым основанием, изученной А. О. Гельфондом. Дана вероятностная интерпретация распределения остатков Гельфонда в терминах эргодической цепи Маркова с тремя состояниями. В качестве основного результата явно указаны параметры искомой экстремальной цепи. Показано, что матрица переходных вероятностей и стационарное распределение выражаются через корень 𝜃 > 1 уравнения 1 = 𝜃−1 + 𝜃−2 + 𝜃−3. Энтропия найденной цепи равна ln 𝜃, что определяет максимально достижимую непредсказуемость в классе рассматриваемыхпоследовательностей с данным запретом.

This work addresses the problem of finding a stationary Markov chain with maximumentropy on the set of infinite binary sequences that forbid three consecutive ones. A connection is established between this problem and the non-integer base numeration system studied by A.O. Gelfond. A probabilistic interpretation of Gelfond’s distribution of remainders is providedin terms of a three-state ergodic Markov chain. As the main result, the parameters of theextremal chain are explicitly determined. It is shown that the transition probability matrix and the stationary distribution are expressed via the root 𝜃 > 1 of the equation 1 = 𝜃−1+𝜃−2+𝜃−3.The entropy of the resulting chain equals ln 𝜃, which defines the maximum achievable entropy in the class of sequences with this forbidden pattern.

цепь Марковамаксимальная энтропиябинарные последовательностизапрещённые подпоследовательностисистема счисления Гельфондастационарное распределение.Markov chainmaximum entropybinary sequencesforbidden subsequencesGelfond’s numeration systemstationary distribution.ReferencesГончаров В. Л. Из области комбинаторики // Изв. Акад. Наук СССР. Сер. матем. — 1944. — Т. 8, № 1. — С. 3–48.Goncharov, V.L. 1944, “From the field of combinatorics”, Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya, vol. 8, no. 1, pp. 3–48.Ширяев А. Н. Вероятность. — 2-е изд., перераб. — М.: МЦНМО, 1999. — Т. 2. — 568 с.Shiryaev, A.N. 1999, Probability, Vol. 2, 2nd edn, MTSNMO, Moscow.Хинчин А. Я. Понятие энтропии в теории вероятностей // Успехи математических наук. — 1953. — Т. 8, вып. 3(55). — С. 3–20.Khinchin, A.Ya. 1953, “The concept of entropy in probability theory”, Uspekhi Matematicheskikh Nauk, vol. 8, no. 3, pp. 3–20.Гельфонд А. О. Об одном общем свойстве систем счисления // Изв. АН СССР. Сер. матем. — 1940. — Т. 4, № 3. — С. 365–370.Gelfond, A.O. 1940, “On a general property of numeration systems”, Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya, vol. 4, no. 3, pp. 365–370.Hardy G. H., Littlewoo J. E. Some problems of diophantine approximation: Part I. The fractional part of 𝑛𝑘𝑄, // Acta Math., 1914, vol. 37, pp. 155–191.Hardy, G.H. & Littlewood, J.E. 1914, “Some problems of Diophantine approximation: Part I. The fractional part of 𝑛𝑘𝜃”, Acta Mathematica, vol. 37, pp. 155–191.Соболев В. Н., Фролов А. А. Об одном применении теоремы А.Н. Колмогорова // Чебышевcкий сборник,т. 26, № 5, с. 203-220.Sobolev, V.N. & Frolov, A.A. 2025, “On the application of A.N. Kolmogorov’s Theorem”, Chebyshevskii Sbornik, vol. 26, no. 5, pp. 203-220

The authors declare that there are no conflicts of interest present.