THE RATE OF CONVERGENCE OF THE AVERAGE VALUE OF THE FULL RATIONAL ARITHMETIC SUMS

In this paper the exact value of a index of convergence for the mean-value of the complete rational arithmetical for the arithmetical function, satisfying the functional equation of Gaussian type, is found. In particular, the Bernoulli’s polynomials satisfy for this functional equation. A similar result holds for the complete rational trigonometric sums (Hua Loo-keng, 1952). The deduction of the main result of the paper leads of the elementary method. We owe to I. M. Vinogradov for the demonstration of fruitful results and profit of it. The complete rational arithmetic sums are the analogue the oscillatory integral of a periodic function, for example, trigonometric functions. In 1978 similar results for the exact value of the index of convergence of the trigonometric integral were obtained (G. I. Arkhipov, A. A. Karatsuba, V. N. Chubarikov). In nowadays for a multivariate problem there are successful to get only upper and lower estimates for the index of convergence of appropriate sums and integrals.

1. Виноградов И. М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел, 2-е изд., М.: Наука, 1980, 144 с.

2. Hua L.-K. An improvement of Vinogradov’s mean-value theorem and several applications// Quart. J. Math. 1949. V.20. P. 48–61.

3. Архипов Г. И. Теорема о среднем значении модуля кратной тригонометрической суммы// Мат. заметки. 1975. Т.17. С. 84–90.

4. Архипов Г. И. Избранные труды. Орел: Изд-во Орловского гос. ун-та, 2013. 464 с.

5. Архипов Г. И., Чубариков В. Н. Кратные тригонометрические суммы//Изв. АН СССР, Сер. мат. 1976, Т.17, №1. С.209–220.

6. Архипов Г. И., Карацуба А. А., Чубариков В. Н. Теория кратных тригонометрических сумм. М.: Наука, 1987. 368 с.

7. Arkhipov G.I., Chubarikov V. N., Karatsuba A. A. Trigonometric Sums in Number Theory and Analysis. De Gruyter expositions in mathematics; 39. Berlin, New York, 2004. 554 c.

8. Franel J. Les suites de Farey et le probleme des nombres premiers// G¨ottinger Nachrichten. 1924, S. 198–201.

9. Landau E. Vorlesungen uber ¨ Zahlentheorie. Leipzig, 1927 V.2. 240 c.

10. Романов Н. П. Теория чисел и функциональный анализ: сборник трудов. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2013. 478 с.

11. Greaves G. R. H., Hall R. R., Huxley M. N., Wilson J. C. Multiple Franel Integrals// Mathematika, 1993. V.40. P.51–70.

12. Чубариков В. Н. Об одном кратном тригонометрическом интеграле// До- кл. АН СССР. 1976. Т.227, № 6. С. 1308–1310.

13. Чубариков В. Н. О кратных рациональных тригонометрических суммах и кратных интегралах// Мат. заметки. 1978. Т.20, № 1. С. 61–68.

14. Чубариков В. Н. О показателе сходимости особого интеграла одной многомерной аддитивной проблемы// Докл. АН СССР. 2015. Т.463, № 5. С. 530.

15. Чубариков В. Н. Арифметические суммы и гауссова теорема умножения// Чебышевский сборник. 2015. Т.16, вып. 2(54). С. 231–253.

16. Чубариков В. Н. Элементарный вывод оценки полной рациональной арифметической суммы от многочлена// Чебышевский сборник. 2015. Т. 16, вып. 3(55). С. 452–461.

17. Чубариков В. Н. Полные рациональные арифметические суммы// Вестник Моск. ун-та. Сер. мат., мех. 2016. Вып. 1. С. 60–61.

18. Чубариков В. Н. Арифметические суммы от значений многочленов// Докл. РАН. 2016. Вып. 466, № 2. С. 1–2.

19. Шихсадилов М. Ш. Об одном классе осцилирующих интегралов, Вестник Моск. ун-та. Сер. мат., мех. 2015. Вып. 5. С. 61–63. 

1. Vinogradov, I. M. Metod trigonometricheskikh summ v teorii chisel.(Russian) [The method of trigonometric sums in the theory of numbers] Second edition. “Nauka”, Moscow, 1980. 144 pp.

2. Hua L.-K. 1949, “An improvement of Vinogradov’s mean-value theorem and several applications”, Quart. J. Math. vol. 20, рр. 48–61.

3. Arhipov, G. I. 1975, “A theorem on the mean value of the modulus of a multiple trigonometric sum”, Mat. Zametki vol. 17, рр. 143–153.

4. Arkhipov, G. I. 2013, “Izbrannye trudy”, [Selected works], Orl. Gos. Univ., Orel, 464 p. (Russian).

5. Arkhipov, G. I. & Cubarikov, V. N. 1976, “Multiple trigonometric sums”, ˇ Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. vol. 40, no. 1, рр. 209–220.

6. Arkhipov, G. I., Karatsuba A. A. & Cubarikov, V. N., 1987, “Theory of multiple ˇ trigonometric sums”, Moscow: Nauka, 368 pp.

7. Arkhipov G. I., Cubarikov V. N. & Karatsuba A. A. 2004, “Trigonometric Sums ˇ in Number Theory and Analysis 39”, De Gruyter expositions in mathematics, 554 pp.

8. Franel J. 1924, “Les suites de Farey et le probleme des nombres premiers”, G¨ottinger Nachrichten, рр. 198–201.

9. Landau E. 1927, “Vorlesungen ¨uber Zahlentheorie”, Leipzig, vol. 2, р. 240.

10. Romanov, N. P. 2013, “Teorija chisel i funkcional’nyj analiz: sbornik trudov”, [Number theory and functional analysis: collected papers], Tom. Univ., Tomsk, 478 pp. (Russian)

11. Greaves G. R. H., Hall R. R., Huxley M. N. & Wilson J. C. 1993, “Multiple Franel Integrals” Mathematika, vol. 40, pp. 51–70.

12. Cubarikov V. N. 1976, “On a multiple trigonometric integral” ˇ Dokl. AN SSSR, vol. 227, no. 6, pp. 1308–1310.

13. Cubarikov V. N. 1978, “Multiple rational trigonometric sums and multiple ˇ integrals”, Mat. Zametki vol. 20, no. 1, рр. 61–68.

14. Cubarikov V. N. 2015, “Convergence exponent of singular integral in a multi- ˇ dimensional additive problem” Dokl. RAN, vol. 463, no. 5, p. 530.

15. Cubarikov V. N. 2015, “The arithmetic sum and gaussian multiplication theo- ˇ rem” Chebyshevskii Sb., vol. 16, no. 2(54), рр. 231–253.

16. Cubarikov V. N. 2015, “Elementary of the complete rational arithmetical sums” ˇ Chebyshevskii Sb., vol. 16, no. 3(55), рр. 452–461.

17. Cubarikov V. N. 2016, “Full rational arithmetic sums” ˇ Vestnik Moskov. Univ. Ser. Mat., Mech., vol. 1, рр. 60–61.

18. Cubarikov V. N. 2016, “The arithmetic sum of the values of polynomials” ˇ Dokl. RAN, vol. 466, no. 2, рр. 1–2.

19. Shihsadilov, M. Sh. “A class of oscillatory integrals” Vestnik Moskov. Univ. Ser. Mat., Mech., vol. 5, рр. 61–63.