СТАРОЕ И НОВОЕ В ТЕОРИИ СУПЕРХАРАКТЕРОВ КОНЕЧНЫХ ГРУПП

Задача классификации неприводимых представлений является чрезвычайно трудной, "дикой" задачей для таких групп как максимальные унипотентные, борелевские, параболические подгруппы в конечных простых группах лиевского типа. В 1962 году А. А. Кириллов предложил метод орбит, согласно которому неприводимые представления нильпотентной группы Ли находятся во взаимно однозначном соответствии с коприсоединенными орбитами. В 1977 году Д. Каждан перенес метод орбит на случай конечных унипотентных групп. Однако, метод орбит не решает задачу, поскольку задача классификации коприсоединенных орбит является такой же "дикой" задачей. В 1995–2003 годах К. Андре построил теорию базисных характеров унитреугольной группы UT(n, Fq). Эти характеры не являются неприво- димыми, но имеют много общих черт с неприводимыми характерами. Тео- рия К. Андре была существенно упрощена Нинг Яном в 2001 г. В работе 2008 года П. Диаконис и И. Айзекс сформулировали общее по- нятие теории суперхарактеров и построили теорию суперхарактеров для алгебра групп, частным случаем которой является теория базисных ха- рактеров К. Андре. В общем случае задача состоит в том, чтобы для заданной группы построить теорию суперхарактеров, наиболее приближенную к теории неприводимых характеров. Теории суперхарактеров были посвящены многие работы. В настоящее время детально разработан случай абелевых групп; выяснена связь супер- характеров с суммами Гаусса, Костермана, Рамануджана. Построены тео- рии теории суперхарактеров для максимальных унипотентных подгрупп в ортогональной и симплектической группах. Решены задачи ограничения и супериндуцирования для базисных характеров. Задача построения теории суперхарактеров для параболических под- групп остается открытой. В § 1–2 настоящей работы будет дано авторское изложение общих поло- жений теории суперхарактеров и построена теория суперхарактеров для алгебра групп, следуя схеме работы П. Диакониса и И. Айзекса. В §3 анонсированы результаты автора по построению теории супер- характеров конечных групп треугольного типа, которая в виде частного случая содержит теорию П. Диакониса и И. Айзекса для алгебра групп. Для построенной теорию получен аналог формулы А. А. Кириллова для неприводимых характеров. Показано, что ограничение суперхарактера на подгруппу треугольного типа является суммой суперхарактеров этой подгруппы. Как и в случае алгебра групп, индуцирование не работает в тео- рии суперхарактеров. Но можно определить супериндуцирование, которое сохраняет многие свойства индуцирования, включая теоремы Фробениуса.

1. Drozd Yu. Matrix problems, small reduction and representations of mixed groups// In: Representations of Algebras and Related Topics, Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1992.

2. Andre C. A. M. Basic characters of the unitriangular group // Journal of Algebra. 1995. Vol. 175. P. 287–319.

3. Andre C. A. M. Basic sums of coadjoint orbits of the unitriangular group // Journal of Algebra. 1995. Vol. 176. P. 959–1000.

4. Andre C. A. M. The basic character table of the unitriangular group // Journal of Algebra. 2001. Vol. 241. P. 437–471.

5. Andre C. A. M. The basic characters of the unitriangular group (for arbitrary primes) // Proc. Am. Math. Soc. 2002. Vol. 130. P. 1943–1954.

6. Ning Yan. Representation theory of finite unipotent linear groups, Ph.D. Thesis. Department of mathematics. University of Pennsylvania. 2001 (см. также arXiv: 1004.2674).

7. Diaconis P., Isaacs I. M. Supercharacters and superclasses for algebra groups // Trans.Amer.Math.Soc., 2008, Vol. 360, P. 2359–2392.

8. Panov A. N. Invariants of the coadjoint action o the basic varieties of the unitriangular group // Transformation groups. 2015. Vol. 20. P. 229–246.

9. Панов А. Н. Теория суперхарактеров для групп обратимых элементов приведенных алгебр // Алгебра и анализ. Принята к печати (см. также arXiv:1409.5565).

10. Panov A. N. Supercharacters for the finite groups of triangular type // arXiv:1508.05767

11. Панов А. Н. Метод орбит для унипотентных групп над конечным полем // Записки научных семинаров ПОМИ. 2013. Т. 414. С. 127–137.

12. Игнатьев М. В. Ведение в метод орбит над конечным полем. М.: МЦ-НМО, 2014.

13. Пирс Р. Ассоциативные алгебры. М.: Мир, 1986.

14. Кэртис Ч., Райнер И. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр. М.: Наука, 1969.

15. Kirillov A. A. Variations on the triangular theme // Amer. Math. Soc. Transl. 1995. Vol. 169. P. 43–73.

16. Kazhdan D. Proof of Springer hypothesis // Israil J. Math. 1977. Vol. 28. P. 272–284.

17. Isaacs I. M., Karagueuzian D. Involution and characters of upper triangular matrix groups // Math. of Computation. 2005. Vol. 74. no. 252. P. 2027–2033.

18. Brumbaugh J. L., Bulkow M. , Fleming P. S., Garcia L. A., Garcia S. R., Karaali G., Michal M., Turner A. P., Suh H. Supercharacters, exponentioal sums and the uncertainty principle // Journal of Number theory. 2014. Vol. 144. P. 151– 175.

19. Fowler C. F., Garcia S. R., Karaali G. Ramanujan sums as supercharacters // The Ramanujan Journal. 2014. Vol. 32. P. 205–241.

20. Thiem N. Branching rules in the sing of super functions of unipotent uppertriangular matrices // Journal of Algebraic combinatorics. 2010. Vol. 31. P. 267–298.

21. Thiem N., Venkateswaran V. Restricting supercharacters of the finite unipotent upertriangular matrices // Electronic Journal of Combinatorics. 2009. Vol. 16. P. 23.

22. Marberg E., Theim N. Superinduction for pattern groups // Journal of Algebra. 2009. Vol. 321. P. 3681–3703.

23. Diaconis P., Thiem N. Supercharacter formulas for pattern groups // Trans. Am. Math. Soc. 2009. Vol. 361. P. 3501–3533.

24. Bragg D. Restrictions of rainbow supercharacters and poset binomials. Ph.D. Thesis. Department of mathematics. University of Coloado. 2013.

25. Bragg D., Thiem N. Restrictions of rainbow supercharacters // arXiv: 1405.2299

26. Arias-Castro E., Diaconis P., Stanley R., A super-class walk on upper-triangular matrices // Journal of Algebra. V. 2004. Vol. 278. P. 739–765.

27. Hendrickson A. O. F. Supercharacter theory costructions corresponding to Schur ring products // Comm. Algebra. 2012. Vol. 40. no. 12. P. 4420–4438.

28. Aguiar M., Andr`e C., Benedetti C., Bergeron N., Zhi Chen, Diaconis P., Hendrickson A., Hsiao S., Isaacs I. M., Jedwab A., Johnson K., Karaali G., Lauve A., Tung Le, Lewis S., Huilan Li, Magaarg K., Marberg E., Novelli JCh., Amy Pang, Saliola F., Tevlin L., Thibon J-Y., Thiem N., Venkateswaran V., Vinroot C. R., Ning Yan, Zabricki M. Supercharacters, symmetric functions in noncommuting variables, and related Hopf algebras // Advances in Mathematics. 2012. Vol. 229. no. 4. P. 2310–2337.