Бифуркации магнитных геодезических потоков на торических поверхностях вращения
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2025-26-2-125-140
Аннотация
Изучаются магнитные геодезические потоки, инвариантные относительно вращений, на двумерном торе. Предполагается, что пара 2𝜋-периодических функций (𝑓, Λ), задающая динамическую систему, удовлетворяет условиям общего положения, при этом функция Λ, задающая магнитное поле, принимает значения в окружности, если магнитное поле не является точным. Описана топология слоения Лиувилля данной интегрируемой системы вблизи ее особых орбит и особых слоев, найдены типы этих особенностей. Описана топология слоения Лиувилля на неособых трехмерных изоэнергетических многообразиях путем вычисления инварианта Фоменко – Цишанга. Показано, что слоения Лиувилля
для геодезического потока и для неточного магнитного геодезического потока на любом изоэнергетическом многообразии имеют разную топологию. Описаны все возможные бифуркационные диаграммы отображений момента таких интегрируемых систем.
Об авторах
Иван Федорович Кобцев
Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана
Россия
Россия
Елена Александровна Кудрявцева
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова; Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Россия
Россия
доктор физико-математических наук
Список литературы
1. Болсинов А. В., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топо-
2. логия, классификация. — Ижевск: Издательский дом «Удмуртский университет», 1999.
3. Кантонистова Е. О. Топологическая классификация интегрируемых гамильтоновых си-
4. стем на поверхностях вращения в потенциальном поле // Матем. сб. 2016. Т. 207, №3.
5. С. 47–92.
6. Тимонина Д. С. Лиувиллева классификация интегрируемых геодезических потоков в по-
7. тенциальном поле на двумерных многообразиях вращения: торе и бутылке Клейна //
8. Матем. сб. 2018. Т. 209, №11. С. 103–136.
9. Антонов Е. И., Козлов И. К. Лиувиллева классификация интегрируемых геодезических
10. потоков на проективной плоскости в потенциальном поле // Чебышевский сборник. 2020.
11. Т. 21, №2. С. 10–25.
12. Kozlov I., Oshemkov A. Integrable systems with linear periodic integral for the Lie algebra 𝑒(3)
13. // Lobachevskii J. Math. 2017. Vol. 38. P. 1014–1026.
14. Кудрявцева Е. А., Ошемков А. А. Бифуркации интегрируемых механических систем с маг-
15. нитным полем на поверхностях вращения // Чебышевский сборник. 2020. Т. 21, №2. С. 244–
16.
17. Фоменко А.Т. Топология поверхностей постоянной энергии интегрируемых гамильтоно-
18. вых систем и препятствия к интегрируемости // Изв. АН СССР. Серия матем. 1986. Т. 50,
19. №6. С. 1276–1307.
20. Фоменко А.Т. Теория Морса интегрируемых гамильтоновых систем // Доклады АН
21. СССР. 1986. Т. 287, №5. С. 1071–1075.
22. Kobtsev I. F., Kudryavtseva E. A. Bifurcations of magnetic geodesic flows on surfaces of
23. revolution // Russian Journal of Mathematical Physics (in print).
24. Фоменко А.Т., Цишанг Х. О топологии трехмерных многообразий, возникающих в га-
25. мильтоновой механике // Доклады АН СССР. 1987. Т. 294, №2. С. 283–287.
26. Фоменко А.Т. Топологические инварианты гамильтоновых систем, интегрируемых по Ли-
27. увиллю // Функц. анализ и его прил. 1988. Т. 22, №4. С. 38–51.
28. Фоменко А.Т., Цишанг Х. Топологический инвариант и критерий эквивалентности инте-
29. грируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы // Изв. АН СССР. 1990.
30. Т. 54, №3. С. 546–575.
31. Ведюшкина В. В., Пустовойтов С. Е. Классификация слоений Лиувилля интегрируемых
32. топологических биллиардов в магнитном поле // Матем. сб. 2023. Т. 214, №2. С. 23–57.
33. Болсинов А. В., Рихтер П., Фоменко А.Т. Метод круговых молекул и топология волчка
34. Ковалевской // Матем. сб. 2000. Т. 191, №2. С. 3–42.
35. Efstathiou K., Giacobbe A. The topology associated with cusp singular points // Nonlinearity.
36. V. 25. P. 3409–3422.
37. Bolsinov A. V., Guglielmi L., Kudryavtseva E. A. Symplectic invariants for parabolic orbits
38. and cusp singularities of integrable systems with two degrees of freedom // Philosophical
39. Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 2018.
40. V. 376, №2131. 20170424.
41. Lerman L. M., Umanskii Ya. L. The structure of a Poisson action of 𝑅2 on a four-dimensional
42. symplectic manifold. I // Selecta Math. Sov. 1987 (transl. from Russian preprint of 1981). V. 6.
43. P. 365–396.
44. Lerman L. M., Umanskii Ya. L. Classification of four-dimensional integrable Hamiltonian
45. systems and Poisson actions of 𝑅2 in extended neighborhoods of simple singular points. I
46. // Russian Acad. Sci. Sb. Math. 1994. V. 77, №2. P. 511–542.
47. Kudryavtseva E., Martynchuk N. Existence of a smooth Hamiltonian circle action near parabolic
48. orbits and cuspidal tori // Regular and Chaotic Dynamics. 2021. V. 26, №6. P. 732–741.
49. Kudryavtseva E. A. Hidden toric symmetry and structural stability of singularities in integrable
50. systems // Europ. J. Math. 2022. V. 8. P. 1487–1549.
Рецензия
Для цитирования:
Кобцев И.Ф., Кудрявцева Е.А. Бифуркации магнитных геодезических потоков на торических поверхностях вращения. Чебышевский сборник. 2025;26(2):125-140. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2025-26-2-125-140
For citation:
Kobtsev I.F., Kudryavtseva E.A. Bifurcations of magnetic geodesic flows on toric surfaces of revolution. Chebyshevskii Sbornik. 2025;26(2):125-140. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2025-26-2-125-140
Просмотров:
6
Послать статью по эл. почте 