Проблема построения геодезических в классе Громова – Хаусдорфа: оптимальная хаусдорфова реализация не всегда существует
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2025-26-2-49-60
Аннотация
Данная работа посвящена изучению геодезических в классе метрических пространств, наделенных расстоянием Громова–Хаусдорфа. Исследование показывает, что построение линейной геодезической невозможно в общем случае, даже если рассматривать класс Громова – Хаусдорфа, отфакторизованным по нулевым расстояниям. Кроме того, установлено, что оптимальная хаусдорфова реализация разбивает метрические пространства, находящиеся на нулевом расстоянии, на классы эквивалентности с совпадающим пополнением.
Также продемонстрировано, как можно построить геодезическую в примере Хансена, используя 0-модификации. Тем не менее показано, что в общем случае невозможно построение геодезической, используя оптимальную хаусдорфову реализацию. Тем самым показано, что геодезические в классе метрических пространств имеют еще более богатую структуру и на класс метрических пространств не могут быть перенесены методы построения геодезических из пространства Громова – Хаусдорфа.
Ключевые слова
Класс Громова – Хаусдорфа,
метрические пространства,
Хаусдорфова реализация,
метрические пространства в общем положении
При поддержке: Эта работа выполнена с поддержкой гранта Базис номер 23-8-2-3-1.
Список литературы
1. Burago D., Burago Y., Ivanov S. A course in metric geometry. Providence: American Mathematical Society, 2021. 416 p. (Graduate Studies in Mathematics; vol. 33).
2. Blumenthal L. Theory and applications of distance geometry // The Mathematical Gazette. 1954. Vol. 38, no. 324. P. 213-220.
3. Chikin V.M. Functions preserving metrics, and Gromov-Hausdorff space // Moscow University Mathematics Bulletin. 2021. Vol. 76. P. 154-160.
4. Chowdhury S., M´emoli F. Explicit geodesics in Gromov-Hausdorff space // Electronic Research Announcements. 2018. Vol. 25. P. 48-59.
5. Bogataya S.I., Bogatyy S.A., Redkozubov V.V., Tuzhilin A.A. Gromov-Hausdorff class: its completeness and cloud geometry // Topology and its Applications. 2023. Vol. 329. P. 108771.
6. Gromov M. Structures m´etriques pour les vari´et´es riemanniennes. Paris: CEDIC, 1981. 120 p.
7. Hansen J. Is Gromov Hausdorff distance realized when one space is compact? // Math Stack Exchange. 2022. URL: https://math.stackexchange.com/questions/4552398 (дата обращения: 22.11.2024).
8. Ivanov A.O., Iliadis S., Tuzhilin A.A. Realizations of Gromov-Hausdorff distance // ArXiv e-prints. 2016. arXiv:1603.08850 [math.MG].
9. Ivanov A.O., Nikolaeva N.K., Tuzhilin A.A. The Gromov-Hausdorff metric on the space of compact metric spaces is strictly intrinsic // Mathematical Notes. 2016. Vol. 100, no. 6. P. 883-885.
10. Ivanov A.O., Tuzhilin A.A. Isometric embeddings of bounded metric spaces into the Gromov-Hausdorff class // Sbornik: Mathematics. 2022. Vol. 213, no. 10. P. 1400-1414.
11. Grigorjev D.S., Ivanov A.O., Tuzhilin A.A. Gromov-Hausdorff distance to simplexes // Chebyshevskii Sbornik. 2019. Vol. 20, no. 2. P. 100-114.
12. Bors´ık J., Doboˇ𝑠 J. On metric preserving functions // Real Analysis Exchange. 1988. Vol. 13, no. 2. P. 285-293.
13. Vikhrov A. Denseness of metric spaces in general position in the Gromov-Hausdorff class // Topology and its Applications. 2024. Vol. 342. P. 108771.
14. Vikhrov A. Geometry of linear and nonlinear geodesics in the proper Gromov-Hausdorff class // Matematiˇ𝑐ki Vesnik. 2024. Vol. 76, no. 1. P. 1-15.
15. M´emoli F., Wan Z. Characterization of Gromov-type geodesics // Differential Geometry and its Applications. 2023. Vol. 88. P. 102006. DOI: 10.1016/j.difgeo.2023.102006.
16. Ghanaat P. Gromov-Hausdorff distance and applications // Metric Geometry Les Diablerets. 2013. 25-30 August. P. 1-15.
Рецензия
Для цитирования:
Вихров А.А. Проблема построения геодезических в классе Громова – Хаусдорфа: оптимальная хаусдорфова реализация не всегда существует. Чебышевский сборник. 2025;26(2):49-60. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2025-26-2-49-60
For citation:
Vikhrov A.A. The problem of constructing geodesics in the Gromov–Hausdorff class: optimal Hausdorff realizations does not exists in general case. Chebyshevskii Sbornik. 2025;26(2):49-60. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2025-26-2-49-60
Просмотров:
9
Послать статью по эл. почте 