Об асимптотиках представлений пары целых чисел суммой квадратов и линейной формой с конгруэнциальным условием специального вида
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2025-26-1-62-75
Аннотация
В работе получены асимптотические формулы с остаточным членом для числа представлений пары целых чисел 𝑚 и 𝑛 соответственно суммой квадратов и линейной формой от 𝑠 ⩾ 5 переменных, причём каждое решение такой диофантовой системы удовлетворяет конгруэнциальному условию специального вида, связанному определенным образом с линейной формой. Асимптотика с остаточным членом для числа решений такой диофантовой системы выводится при 𝑁 → ∞, где 𝑁 = Δ𝑚 − 𝑛2, при этом Δ равняется сумме квадратов коэффициентов линейной формы.
Кроме того, получены двусторонние оценки снизу и сверху для особого ряда исследуемой диофантовой системы, опираясь при верхней оценке на формулы для числа решений сравнения второй степени 𝑥21 + . . . + 𝑥2 𝑠 ≡ 𝑎 (mod 𝑝𝑘), где 𝑝 — простое число, 𝑎 — целое число, 𝑘 — натуральное число.
Настоящая работа является продолжением ранее проведенного исследования, относящегося к случаю чётного числа переменных.
Об авторах
Урусби Мухамедович Пачев
Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х. М. Бербекова
Россия
Россия
доктор физико-математических наук, профессор
Азамат Хасанович Кодзоков
Berbekov Kabardino-Balkarian State University
Россия
Россия
Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х. М. Бербекова
Мариана Малиловна Исакова
Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х. М. Бербекова
Россия
Россия
кандидат физико-математических наук
Марина Сефовна Нирова
Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х. М. Бербекова
Россия
Россия
кандидат физико-математических наук
Список литературы
1. Виноградов И. М. Об одном классе совокупных диофантовых уравнений // Изв. АН СССР, 1929. С. 355-376.
2. Виноградов И. М. Избранные труды. Изд-во АН СССР. — М., 1952. С. 151-168.
3. Марджанишвили К. К. Об одновременном представлении 𝑛 чисел суммами полных первых, вторых, . . . , 𝑛-х степеней // Изв. АН СССР, сер. матем. 1 (1937), С. 609-631.
4. Pall G. Simultaneous quadratic and linear representations. Quart. J. Math. 2 (1931). P. 136-143.
5. Pall G. Simultaneous representations in a quadratic and linear form // Duke Math. J. S. (1941). P. 173-180.
6. Kloosterman H. Simultane Darstellung zweier ganzen Zahlen al seiner Samme von ganzen Zahlen und deren Quadrat–Summe. Math. Ann. 118 (1942). S. 319-364.
7. de Bruijn N. G. Over het a antal oplossingen van het stelsel 𝑥21 +𝑥22 +𝑥23 = 𝑛, 𝑥1+𝑥2+𝑥3 = 𝑚, Nieuw. Arch. Wisk (2)22 (1943), S. 53-56.
8. Bronkhorst P. Over het a antal oplossingen van het stelsel Diophatische Vergelijkinder 𝑥21+ . . . + 𝑥2𝑠 = 𝑛, 𝑥1 + . . . + 𝑥𝑠 = 𝑚 vor 𝑠 = 6 en 𝑠 = 8. Diss. Groningen, 1943.
9. Van der Blij. On the theory of simultaneous linear and quadratic representation I–II, Proc. Kon. Acad. V. Wet. 50 (1947), 31-48.
10. Ломадзе Г. А. Об одновременном представлении двух целых чисел суммами целых чисел и их квадратов // Труды Тбилисского матем. ин-та. 18 (1950). С. 153-181.
11. Воронецкий А. Б., Малышев А. В. Об одновременном представлении пары чисел суммами целых чисел и их квадратов // Тр. МИАН СССР, 142 (1976). С. 122-134.
12. Малышев А. В. О представлении целых чисел положительными квадратичными формами // Труды МИАН СССР, Т. 65 (1962), С. 3-212.
13. Малышев А. В. О формулах для количества представлений чисел положительными квадратичными формами // Актуальные проблемы аналитической теории чисел. Минск : Наука и техника, 1974.
14. Вальфиш А. З. О представлении чисел суммами квадратов. Асимптотические Формулы // Успехи матем. наук. 7 (1952), № 6, C. 97-178,
15. Walfisz A. A. ¨Uber die simultane Darstellung zweier ganzen Zahlen durch quadratische und lineare Formen // Acta Arithmetica XXXV (1979). S. 289-301.
16. Пачев У. М., Халилова Л. А. Об асимптотике числа представлений пары целых чисел квадратичной и линейной формами с конгруэнциальным условием // Матем. заметки. Т. 111, вып. 5 (2022). С. 726-737.
17. Urusbi Pachev, Rezuan Dokhov, Asamat Kodzokov. On Diophantine Systems with Sum of Squares and Linear Forms Satisfying a Congruential Condition of a Special Form // Current Problems of Applied Mathematics and Computer Systems, 2024, pp. 3-10.
18. Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. Т. 1. — М. : “Mup”. (1988).
19. Милнор Дж., Хьюзмоллер Д. Симметрические билинейные формы. — М. : “Наука”. (1986).
20. Siegel C. L. Gesammelte Abhandlungen, I. — Berlin; Heidelberg; Springer–Verlag, 1966, S. 326-405.
21. Подсыпанин Е. В. О сингулярном ряде в задаче представления системы чисел системой форм // Зап. научн. сем. ЛОМИ Т. 50 (1975), C. 130-136.
22. Birch B. J. Forms in many variables. Proc. Roy. Soc., 1962, A. 265, pp. 245-263, 23. Watson G. L. Quadratische Diophantine equations. Phil. Trans. Roy. Soc London A 253, pp. 227-254.
Рецензия
Для цитирования:
Пачев У.М., Кодзоков А.Х., Исакова М.М., Нирова М.С. Об асимптотиках представлений пары целых чисел суммой квадратов и линейной формой с конгруэнциальным условием специального вида. Чебышевский сборник. 2025;26(1):62-75. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2025-26-1-62-75
For citation:
Pachev U.M., Kodzokov A.Kh., Isakova M.M., Nirova M.S. On the asymptotics of representations by a sum of a pair of integers by a sum and a linear form with a congruential condition of a special form. Chebyshevskii Sbornik. 2025;26(1):62-75. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2025-26-1-62-75
Просмотров:
61
Послать статью по эл. почте 