chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2025-26-1-62-75cheb-1933Research ArticleСтатьиArticleОб асимптотиках представлений пары целых чисел суммой квадратов и линейной формой с конгруэнциальным условием специального видаOn the asymptotics of representations by a sum of a pair of integers by a sum and a linear form with a congruential condition of a special formПачевУрусби МухамедовичPachevUrusbi Mukhamedovich

доктор физико-математических наук, профессор

doctor of physical and mathematical sciences, professor

urusbi@rambler.ruКодзоковАзамат ХасановичKodzokovAzamat Khasanovich

Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х. М. Бербекова

Kodzoko@mail.ruИсаковаМариана МалиловнаIsakovaMariana Malilovna

кандидат физико-математических наук

candidate of physical and mathematical sciences

isakova2206@mail.ruНироваМарина СефовнаNirovaMarina Sefovna

кандидат физико-математических наук

candidate of physical and mathematical sciences

nirova_m@mail.ruКабардино-Балкарский государственный университет им. Х. М. БербековаРоссияBerbekov Kabardino-Balkarian State UniversityRussian FederationBerbekov Kabardino-Balkarian State UniversityRussian Federation2025220620252616275Copyright © Пачев У.М., Кодзоков А.Х., Исакова М.М., Нирова М.С., 20252025Пачев У.М., Кодзоков А.Х., Исакова М.М., Нирова М.С.Pachev U.M., Kodzokov A.K., Isakova M.M., Nirova M.S.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1933

В работе получены асимптотические формулы с остаточным членом для числа представлений пары целых чисел 𝑚 и 𝑛 соответственно суммой квадратов и линейной формой от 𝑠 ⩾ 5 переменных, причём каждое решение такой диофантовой системы удовлетворяет конгруэнциальному условию специального вида, связанному определенным образом с линейной формой. Асимптотика с остаточным членом для числа решений такой диофантовой системы выводится при 𝑁 → ∞, где 𝑁 = Δ𝑚 − 𝑛2, при этом Δ равняется сумме квадратов коэффициентов линейной формы.Кроме того, получены двусторонние оценки снизу и сверху для особого ряда исследуемой диофантовой системы, опираясь при верхней оценке на формулы для числа решений сравнения второй степени 𝑥21 + . . . + 𝑥2 𝑠 ≡ 𝑎 (mod 𝑝𝑘), где 𝑝 — простое число, 𝑎 — целое число, 𝑘 — натуральное число.Настоящая работа является продолжением ранее проведенного исследования, относящегося к случаю чётного числа переменных.

In the work, asymptotic formulas with a remainder term are obtained for the number of representations of a pair of integers 𝑚 and 𝑛, respectively, as a sum of 𝑠 ⩾ 5 variables, and each solution of such a Diophantine system satisfies the congruential a condition of a special type, associated in a certain way with a linear form.Asymptotic formulas with a remainder term for the number of solutions of such a Diophantine system are derived for 𝑁 → ∞, where 𝑁 = Δ𝑚 − 𝑛2 and Δ equals the sum of the squares on the coefficients on the linear form. In addition, two-sided lower and upper bounds are obtained for a special series of Diophantine system under study based on the upper bound based on formulas for the number of solutions ofa congruence of the second degree modulo the power 𝑥21+ . . . + 𝑥2𝑠 ≡ 𝑎 (mod 𝑝𝑘) of the prime number, where 𝑎 is natural number.This work is a continuation of a previous study, relating to the case of an even number of variables.

сумма квадратовлинейная формадиофантова системаконгруэнциальное условиечисло решений квадратного сравненияасимптотическая формулаособый ряд диофантовой системы.sum of squareslinear formDiophantine systemcongruential conditionnumber of solutions to quadratic congruenceestimates of a special series.ReferencesВиноградов И. М. Об одном классе совокупных диофантовых уравнений // Изв. АН СССР, 1929. С. 355-376.Vinogradov, I. M. 1929. “On one class of aggregate Diophantine equations”, Izv. Academy of Sciences of the USSR, pp. 355–376.Виноградов И. М. Избранные труды. Изд-во АН СССР. — М., 1952. С. 151-168.Vinogradov, I. M. 1952, “Selected works”, Publishing house of the USSR Academy of Sciences, pp. 151–168.Марджанишвили К. К. Об одновременном представлении 𝑛 чисел суммами полных первых, вторых, . . . , 𝑛-х степеней // Изв. АН СССР, сер. матем. 1 (1937), С. 609-631.Marjanishvilli, K. K. 1937, “On the simultaneous representation of complete first second, . . . , 𝑛-th degrees”, Izv. AN SSSR, ser. Mat., 4, pp. 609–634.Pall G. Simultaneous quadratic and linear representations. Quart. J. Math. 2 (1931). P. 136-143.Pall, G. 1931, “Simultaneous quadratic and linear representations”, Quart. J. Math., 2, pp. 136–143.Pall G. Simultaneous representations in a quadratic and linear form // Duke Math. J. S. (1941). P. 173-180.Pall, G. 1941, “Simultaneous representations in a quadratic and linear form”, Duke Math. J. S., pp. 173–180.Kloosterman H. Simultane Darstellung zweier ganzen Zahlen al seiner Samme von ganzen Zahlen und deren Quadrat–Summe. Math. Ann. 118 (1942). S. 319-364.Kloosterman, H. 1942, “Simultane Darstellung zweier ganzen Zahlen al seiner Samme von ganzen Zahlen und deren Quadrat–Summe”, Math. Ann., 118, pp. 319–364.de Bruijn N. G. Over het a antal oplossingen van het stelsel 𝑥21 +𝑥22 +𝑥23 = 𝑛, 𝑥1+𝑥2+𝑥3 = 𝑚, Nieuw. Arch. Wisk (2)22 (1943), S. 53-56.de Bruijn, N. G. 1943, “Over het a antal oplossingen van het stelsel 𝑥21 + 𝑥22 + 𝑥23 = 𝑛, 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 𝑚”, Nieuw. Arch. Wisk, (2)22, pp. 53–56.Bronkhorst P. Over het a antal oplossingen van het stelsel Diophatische Vergelijkinder 𝑥21+ . . . + 𝑥2𝑠 = 𝑛, 𝑥1 + . . . + 𝑥𝑠 = 𝑚 vor 𝑠 = 6 en 𝑠 = 8. Diss. Groningen, 1943.Bronkhorst, P. 1943 “Over het a antal oplossingen van het stelsel Diophatische Vergelijkinder 𝑥21 + . . . + 𝑥2 𝑠 = 𝑛, 𝑥1 + . . . + 𝑥𝑠 = 𝑚 vor 𝑠 = 6 en 𝑠 = 8”, Diss. Groningen.Van der Blij. On the theory of simultaneous linear and quadratic representation I–II, Proc. Kon. Acad. V. Wet. 50 (1947), 31-48.Van der Blij. 1947, “On the theory of simultaneous linear and quadratic representation I–II”, Proc. Kon. Acad. V. Wet., 50, pp. 31–48.Ломадзе Г. А. Об одновременном представлении двух целых чисел суммами целых чисел и их квадратов // Труды Тбилисского матем. ин-та. 18 (1950). С. 153-181.Lomadze, G.A, 1950, “On the simultaneous representation of two integers by sums of integers and their squares”, Proceedings of the Tbilisi Mathematical Institute, 18, pp. 153–181.Воронецкий А. Б., Малышев А. В. Об одновременном представлении пары чисел суммами целых чисел и их квадратов // Тр. МИАН СССР, 142 (1976). С. 122-134.Voronetsky, A. B., Malyshev A. V. 1976, “On the simultaneous representation of a pair of numbers by sums of integers and their squares”, Proceedings of the Steklov Mathematical Institute of the USSR, 142, pp. 122–134.Малышев А. В. О представлении целых чисел положительными квадратичными формами // Труды МИАН СССР, Т. 65 (1962), С. 3-212.Malyshev, A. V. 1962, “On the representation of integers by positive quadratic forms”, Proceedings of the Steklov Mathematical Institute of the USSR, V. 65, pp. 3–212.Малышев А. В. О формулах для количества представлений чисел положительными квадратичными формами // Актуальные проблемы аналитической теории чисел. Минск : Наука и техника, 1974.Malyshev, A. V. 1974, “On formulas for the number of representations of numbers by positive quadratic forms”, Actual problems of analytical number theory. Minsk. Science and Technology.Вальфиш А. З. О представлении чисел суммами квадратов. Асимптотические Формулы // Успехи матем. наук. 7 (1952), № 6, C. 97-178,Valfish, A. Z. 1952, “On the representation of squares. Asymptotic formulas”, Uspekhi Matematicheskikh Nauk, 7, № . 6, pp. 97–178.Walfisz A. A. ¨Uber die simultane Darstellung zweier ganzen Zahlen durch quadratische und lineare Formen // Acta Arithmetica XXXV (1979). S. 289-301.Walfisz, A. A. 1979, “ ¨Uber die simultane Darstellung zweier ganzen Zahlen durch quadratische und lineare Formen”, Acta Arithmetica XXXV, pp. 289–301.Пачев У. М., Халилова Л. А. Об асимптотике числа представлений пары целых чисел квадратичной и линейной формами с конгруэнциальным условием // Матем. заметки. Т. 111, вып. 5 (2022). С. 726-737.Pachev, U. M., Khalilova L, A. 2022, “On the asymptotics on the number of representations of a pair of integers by quadratic and linear forms with a congruent condition”, Mathematical notes, Vol. 111, Iss. 5, pp. 726–737.Urusbi Pachev, Rezuan Dokhov, Asamat Kodzokov. On Diophantine Systems with Sum of Squares and Linear Forms Satisfying a Congruential Condition of a Special Form // Current Problems of Applied Mathematics and Computer Systems, 2024, pp. 3-10.Urusbi Pachev, Rezuan Dokhov, Asamat Kodzokov. 2024, “On Diophantine Systems with Sum of Squares and Linear Forms Satisfying a Congruential Condition of a Special Form”, Current Problems of Applied Mathematics and Computer Systems, pp. 3–10.Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. Т. 1. — М. : “Mup”. (1988).Lidl, R., Niederreiter G. 1988, “Finite fields”, M.:Mir, Vol. 1.Милнор Дж., Хьюзмоллер Д. Симметрические билинейные формы. — М. : “Наука”. (1986).Mulnor, J., Huesmoller D, 1986, “Symmetric bilinear forms”, M.:Science.Siegel C. L. Gesammelte Abhandlungen, I. — Berlin; Heidelberg; Springer–Verlag, 1966, S. 326-405.Siegel, C. L. 1966, “Gesammelte Abhandlungen, I”, Berlin; Heidelberg; Springer–Verlag, pp. 326–405.Подсыпанин Е. В. О сингулярном ряде в задаче представления системы чисел системой форм // Зап. научн. сем. ЛОМИ Т. 50 (1975), C. 130-136.Podsypanin, E. V. 1975, “On the singular series in the problem of representing a system of numbers by a system”, Notes of scientific seminars LOMI, V. 50, pp. 130–136.Birch B. J. Forms in many variables. Proc. Roy. Soc., 1962, A. 265, pp. 245-263, 23. Watson G. L. Quadratische Diophantine equations. Phil. Trans. Roy. Soc London A 253, pp. 227-254.Birch, B. J. 1962, “Forms in many variables”, Proc. Roy. Soc. A., 265, pp. 245–263,Watson, G. L. “Quadratische Diophantine equations”, Phil. Trans. Roy. Soc. London A., 253, pp. 227–254.Watson, G. L. “Quadratische Diophantine equations”, Phil. Trans. Roy. Soc. London A., 253, pp. 227–254.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.