ОБ АЛЬТЕРНАТИВЕ ТИТСА ДЛЯ ПОДГРУПП F-ГРУПП

Титсом доказано, что для любой конечно порожденной линейной группы G справедливо утверждение: либо группа G содержит подгруппу, изоморфную свободной группе F2 ранга 2, либо группа G почти разрешима. Это привело к понятию альтернатива Титса для класса групп: для класса групп C выполняется альтернатива Титса, если для произ- вольной группы G из этого класса справедливо утверждение: либо группа G почти разрешима, либо она содержит подгруппу, изоморфную свобод- ной группе F2 ранга 2. Изучению классов групп, для которых справедлива альтернатива Титса, посвящен ряд работ. Альтернатива Титса связана со следующим вопросом, достаточно давно и независимо изучавшимся в комбинаторной теории групп: для каких классов групп справедливо утверждение: для произвольной группы G из этого класса справедлива альтернатива: либо на группе G выполняется нетривиальное тождество, либо она содержит подгруппу, изоморфную свободной группе F2 ранга 2. Для подгрупп групп с одним определяющим соотношением последний вопрос полностью исследован в работах Д. И. Молдаванского, А. А. Че- ботаря, А. Карраса и Д. Солитэра. Для групп, удовлетворяющих условиям малого сокращения, рассмат- риваемый вопрос изучен в работах В. П. Классена при описании подгрупп этих групп. В известной монографии Р. Линдона и П. Шуппа дано полное описание абелевых подгрупп произвольных F-групп. В настоящей работе усиливается этот результат: дается описание подгрупп F-групп, на которых выполняется нетривиальное тождество и устанавливается справедливость альтернативы Титса для подгрупп F-групп. Более точно, доказывается, что для подгрупп фуксовых групп выполняется усиленный вариант альтернативы Титса: произвольная подгруппа H фуксовой группы либо является разреши- мой ступени 6 3 или знакопеременной группой A(5), либо H содержит подгруппу, изоморфную свободной группе ранга 2, на подгруппе H произвольной фуксовой группы G не выполняется нетривиальное тождество тогда и только тогда, когда H содержит подгруппу, изоморфную свободной группе ранга 2.

1. Tits J. Free subgroups in linear groups // J. Algebra. 1972. Vol. 20. P. 250–270.

2. Majeed A., Mason A.W. // Glasgow Math. J. 1989. Vol. 19. P. 45 – 48.

3. Дурнев В. Г. О некоторых подгруппах фуксовых групп // Вопросы теории групп и гомологической алгебры: межвуз. темат. сб. Ярославль. ЯрГУ. 1998. С. 69 – 77.

4. Rosenberger G. On free subgroups of generalized triangle groups // Алгебра и логика. 1989. Т. 28. №2. С. 227 – 240.

5. Fine B., Rosenberger G. Algebraic generalizations of discrite groups: a path to combinatorial group theory through one-relator products. New York: Marcel Dekker. 1999.

6. Беняш-Кривец В. В. Об альтернативе Титса для некоторых конечно порожденных групп // Доклады НАН Беларуси. 2003. Том 47. №2. С. 29 – 32.

7. Беняш-Кривец В. В. О свободных подгруппах некоторых треугольных групп // Доклады НАН Беларуси. 2003. Том 47. №3. С. 14 – 17.

8. Баркович О. А, Беняш-Кривец В. В. Об альтернативе Титса для некоторых обобщенных треугольных групп типа (3, 4, 2) // Доклады НАН Беларуси. 2004. Том 48. №3. С. 28 – 33.

9. Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. М.: Мир, 1980.

10. Молдаванский Д. И. О некоторых подгруппах групп с одним определяющим соотношением // Сиб. матем. журнал. 1967. Том 8. С. 1370 – 1384.

11. Чеботарь А. Подгруппы групп с одним определяющим соотношением, не содержащие свободных подгрупп ранга 2 // Алгебра и логика. 1971. Том 10. С. 570 – 586.

12. Karrass A., Solitar D. Subgroups of HNN groups and groups with one defining relation // Canad. J. Math. 1971. V. 23. P. 627 – 643.

13. Курош А.Г. Теория групп. М.: Наука, 1967.

14. Магнус В., Каррас А., Солитэр Д. Комбинаторная теория групп. М.: Наука, 1974.

15. Коксетер Г. С. М., Мозер У. О. Дж. Порождающие элементы и определяющие соотношения дискретных групп. М.: Наука, 1980.