Масштабные эффекты микрополярной среды в задаче о кручении цилиндрического тела

Для решения некоторых краевых задач микрополярной теории упругости в работе формулируется вариационный принцип Лагранжа в обобщённых кинематических полях применительно к материалам с центром симметрии произвольной анизотропии
[5, 6, 7, 8, 9, 10, 11]. Используя метод Ритца краевая задача приводится к тензорно-блочной системе линейных алгебраических уравнений. Для чего искомые кинематические векторные поля перемещений и микровращений раскладываются в ряд по базисным кусочно-полиномиальными функциям лагранжева(8-узлового КЭ) и серендипова (20-узлового КЭ) семейства[8, 14]. Для улучшения аппроксимации лагранжевыми многочленами(8-узлового КЭ), в том числе для почти несжимаемой среды, использован обобщенный метод редуцированного и селективного интегрирования[11]. Апробация построенной математической модели выполняется на задаче о кручении изотропного цилиндрического тела в рамках классической и микрополярной теории упругости с демонстрацией масштабного эффекта,
в том числе по результатам экспериментальных данных [18]. Представлено сравнение полученного численного решения с аналитическим решением Сен-Венана[3] симметричной теории упругости; с аналитическим решением Готье, Ясмана[15, 16] и численным решением авторов [7] для микрополярной среды; с результатами эксперимента Лейкса[18]. При задании интегральных граничных условий(момента) на торцевой поверхности цилиндрического тела было использовано аналитическое распределение касательных и моментных напряжений [3, 15, 16].

1. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности: Учеб. пособие. 2-е изд // М.: Изд-во МГУ, 1995.

2. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач // М.: Мир, 1980.

3. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 2. 6-е изд. // СПб.: Лань. 2004.

4. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир. 1975.

5. Никабадзе М.У. Развитие метода ортогональных полиномов в механике микрополярных и классических упругих тонких тел. М.: Изд-во МГУ имени М.В. Ломоносова, 2023.

6. Nowacki W. Theory of micropolar elasticity. Vienna: Springer-Verlag; 1972.

7. Eringen A. Microcontinuum field theories: I. Foundations and solids. New York: Springer-Verlag; 2012.

8. Романов А.В. О вариационном принципе Лагранжа микрополярной теории упругости в случае трансверсально–изотропной среды.// Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2022. № 4. с. 35-39. URL: https://doi.org/10.3103/S0027133022040045

9. Романов А.В. О вариационном принципе Лагранжа микрополярной теории упругости в случае ортотропной среды.// Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2023. № 1. с. 68-72. URL: https://doi.org/10.55959/MSU0579-9368-1-2023-1-68-72

10. Романов А.В. О вариационном принципе Лагранжа микрополярной теории упругости при неизотермических процессах.// Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2023. № 2. с. 64-68.

11. URL: https://doi.org/10.55959/MSU0579-9368-1-64-4-12

12. Романов А.В. Применение метода редуцированного и селективного интегрирования в задачах микрополярной теории упругости. // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2024. № 1. с. 65-69. URL: https://dx.doi.org/10.55959/MSU0579-9368-1-65-1-8

13. Nikabadze M.U. Topics on tensor calculus with applications to mechanics // J. Math. Sci. 2017. 225, N 1. URL: https://doi.org/10.1007/s10958-017-3467-4

14. Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. Лекции по теории упругости. – М.: Ленанд, 2018. 208 с.

15. Zienkiewicz O. C., Taylor R. L., Zhu J.Z. The Finite Element Method: Its Basis and

16. Fundamentals. 7th ed. Oxford: Butterworth-Heinemann, 2013.

17. Gauthier R. D., Analytical and Experimental Investigations in Linear Isotropic Micropolar

18. Elasticity. Doctoral dissertation, University of Colorado, 1974.

19. Gauthier R, Jahsman W. A quest for micropolar elastic constants. J Appl Mech 1975; 42(2): 369 – 74. URL: https://doi.org/10.1115/1.3423583

20. Grbˇci´c S., Ibrahimbegovi´c A., Jeleni´c G. Variational formulation of micropolar elasticity

21. using 3D hexahedral finite-element interpolation with incompatible modes. 2018. URL:

22. https://doi.org/10.1016/j.compstruc.2018.04.005

23. Rueger Z., Lakes R. S. Experimental Cosserat elasticity in open cell polymer foam. //

24. Philosophical Magazine, 96 (2), 93-111, January 2016. URL: https://doi.org/10.1080/

25. 2015.1125541