О размерности группы Ли автоморфизмов параконтактного метрического многообразия

Аннотация

Доказано, что размерность группы Ли автоморфизмов (2𝑛 + 1)-мерного гладкого многообразия, наделённого параконтактной метрической структурой (𝜂, 𝜉, 𝜙, 𝑔), не превосходит (𝑛 + 1)2, где 𝜂 – дифференциальная 1-форма, определяющая контактное 2𝑛-мерное
распределение 𝐻 = ker𝜂, 𝜉 – векторное поле Риба, 𝜙 – структурный эндоморфизм, 𝑔 – псевдориманова метрика, ограничение которой на контактное распределение 𝐻 имеет сигнатуру (𝑛, 𝑛). Анализ условий инвариантности параконтактной метрической структуры относительно инфинитезимальных автоморфизмов, а также используя атлас Дарбу, в каждой карте которого контактная форма 𝜂 имеет канонический вид, позволяет утверждать, что группа изотропий, индуцированная стационарной подгруппой точки 𝑝(0, ..., 0), вращает только векторы, лежащие в контактной плоскости 𝐻𝑝, и оставляет инвариантной псевдоевклидову метрику и симплектическую структуру, определяемую дифференциальной 2-формой Ω = 𝑑𝜂. Поэтому максимальная размерность алгебры Ли группы изотропий равна 𝑛2. Так как размерность подгруппы сдвигов не превосходит размерность многообразия, то размерность группы автоморфизмов не превосходит 𝑛2 + 2𝑛 + 1. В данной работе также доказано, что максимальная размерность алгебры Ли инфинитезимальных
автоморфизмов равна (𝑛 + 1)^2. Примером параконтактного метрического многообразия,
допускающего алгебру Ли инфинитезимальных автоморфизмов максимальной размерности, является обобщённая группа Гейзенберга, наделённая канонической парасасакиевой
структурой. Найдены базисные векторные поля этой алгебры.