Периодическое управление биосообществом и гомеоморфизмы окружности

Предлагается и исследуется математическая модель периодического процесса управления, предназначенная для решения экологической проблемы сохранения видовой структуры биосообщества «хищник-жертва».Модель основана на сведении непрерывной динамики
к дискретной, порожденной гомеоморфизмами окружности.
Динамика взаимодействия видов описывается трехмерной системой обыкновенных
дифференциальных уравнений. Два уравнения задают систему Лотки – Вольтерры, а третье — динамику пищевой привлекательности участка, понятие которой введено в [1]. Специфика системы такова, что ее траектории принадлежат инвариантным цилиндрическим поверхностям, что позволяет провести полное качественное исследование системы.
Моделируется следующий процесс. В некоторый момент времени на участок вводится популяция хищника для уменьшения роста популяции жертвы, которая рассматривается как вредный вид. Это широко распространенная в практике процедура борьбы с вредными инвазивными видами. Если через некоторое время значение пищевой привлекательности участка становится меньше порогового значения, то популяция хищника покидает участок.
Ставится задача управления, состоящая в изъятии части популяции хищника так, чтобы для оставшейся части значение пищевой привлекательности было больше порога.
Вводится понятие допустимого кусочно постоянного управления, которое учитывает
возможность его практической реализации при наименьшей антропогенной нагрузке на
участок. Для решения поставленной задачи предлагается метод касательных управлений,
на основе которого построен периодический процесс управления, как наиболее естествен-
ный, если учесть периодичность свободной системы Лотки – Вольтерры.
При построении периодического процесса управления непрерывная динамика сводится
к дискретной, которая порождает гомеоморфизмы окружности. Получены условия, при которых система периодична. Найдены явные выражения для периодов. Построено множество управляемости. Рассмотрено обобщение задачи, при котором непрерывная динамика индуцирует дискретную, порождающую двойные повороты окружности. Ставится задача нахождения периодических траекторий.

1. Кириллов, А. Н. Экологические системы с переменной размерностью // Обозр. прикл.

2. промышл. мат. 1999. Т. 6, №2. С. 819-836.

3. Colonius, F. Optimal periodic control. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 1988. 177 p.

4. Арнольд, В. И. Выпуклые оболочки и повышение производительности систем при пульсирующей загрузке // Сиб. матем. журн. 1987. Т. 28, №4. С. 29-31.

5. Давыдов, А. А., Мельник, .Д. А. Оптимальные состояния распределенных эксплуатируемых популяций с периодическим импульсным отбором // Тр. ИММ УрО РАН. 2021. Т. 27, №2. С. 99-107.

6. Hausrath, A. R., Manasevich R. F. Periodic solutions of periodically harvested Lotka-Volterra systems // Revista Colombiana de Matematica. 1987. Vol. 21. P. 337-346.

7. Suzuki, H., Ito, S., Aihara, K. Double rotations// Discrete Contin. Dyn. Syst. 2005. Vol. 13,

8. iss. 2. P. 515-532.

9. Журавлев, В. Г. Двухцветные повороты единичной окружности //Изв. РАН. Сер. Матем. 2009. Т. 73, в. 1. С. 79-120.

10. Кириллов, А. Н., Иванова, А. С. Периодический и квазипериодический процессы управления в задаче сохранения видового состава биосообщества // Труды Карельского научного центра РАН. 2015. №10. С. 99-106.

11. Кириллов, А. Н., Иванова, А. С. Численное моделирование периодического процесса, сохраняющего видовую структуру биосообщества// Математическое моделирование. 2021. Т. 33, №6. С. 59-72.

12. Hamilton, W. Geometry for the selfish herd// J. Theor. Biology. 1971. Vol. 31, iss. 2. P. 295-311.

13. Gorcke, A. The influence of past in a population system involving intraspecific competition and Allee effect // Eur. Phys. J. Plus. 2022. Vol. 137, article number 200. P. 1-11.

14. Arditi, R., Ginzburg, L. R. Coupling in predator-prey dynamics: ratio-dependence // J. Theor. Biology. 1989. Vol. 139, iss. 3. P. 311-326.

15. Chen, X., Huang, L. A Filippov system describing the effect of prey refuge use on a ratiodependent predator–prey model // J. Math. Anal. Appl. 2015. Vol. 428, iss. 2. P. 817-837.

16. Hamdallah, S. A, Arafa, A. A. Stability analysis of Filippov prey–predator model with fear effect and prey refuge // J. Appl. Math. Comput. 2023. URL: https://doi.org/10.1007/s12190-023-01934-z.

17. Ivanova, A. S., Kirillov, A. N. Equilibrium and control in the biocommunity species composition preservation problem // Autom. Remote Control. 2017. Vol. 78, №8. P. 1500-1511.

18. Кириллов, А. Н., Сазонов, А. М. Гибридная модель динамики популяций с режимом убежища: регуляризация и самоорганизация// Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2023. Т. 33, в. 3. С. 467-482.

19. Каток, А. Б., Хасселблат, Б. Введение в теорию динамических систем. М.: МЦНМО, 2005. 464 с.

20. Shagi,-Di S. The period of a Lotka—Volterra system // Taiwanese J. Math. 1997. Vol. 1, №4. P. 451-470.

21. Waldvogel, J. The period in the Lotka—Volterra system is monotonic // Journal of mathematical analysis and applications. 1986. Vol. 114, iss. 1. P. 178-184.

22. Artigiani, M., Fougeron, Ch., Hubert, P., Skripchenko, A. A note on double rotations of infinite type // Труды ММО. 2021. Т. 82, в. 1. С. 185-203.

23. Bruin, H., Clack, G. Inducing and unique ergodicity of double rotations // Discrete Contin.

24. Dyn. Syst. 2012. Vol. 32, iss. 12. P. 4133–4147.