О нулях периодических в среднем функций относительно свёртки Бесселя
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2024-25-5-57-73
Аннотация
В статье изучаются множества единственности для решений уравнения свертки Бесселя 𝑓𝛼 ⋆𝑔 = 0, 𝛼 ∈ (−1/2,+∞). Показано, в частности, что если 𝑔 = 𝜒𝑟 – индикатор отрезка [−𝑟, 𝑟], а чётная функция 𝑓 ∈ 𝐶(R) удовлетворяет уравнению 𝑓𝛼 ⋆ 𝜒𝑟 = 0 и равна нулю на (𝑟 − 𝜀, 𝑟) или (𝑟, 𝑟 + 𝜀) при некотором 𝜀 > 0, то 𝑓 = 0 на (𝑟 − 𝜀, 𝑟 + 𝜀). При этом интервал нулей (𝑟 − 𝜀, 𝑟 + 𝜀), вообще говоря, расширить нельзя. Установлено, что подобное явление имеет место и для решений уравнения 𝑓 𝛼 ⋆ 𝛿𝑟 = 0, где 𝛿𝑟 – чётная мера, сопоставляющая чётной непрерывной функции 𝜙 на R число 𝜙(𝑟). Найдены приложения этих результатов к теоремам единственности для сходящихся последовательностей линейных комбинаций
функций Бесселя, теоремам о нулевых множествах для решений задачи Коши обобщенного уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу и теоремам о замыкании обобщенных сдвигов.
Ключевые слова
обобщенная свертка,
сферическое преобразование,
множества единственности,
теоремы о замыкании сдвигов,
лакунарные ряды.
При поддержке: Исследование проводилось в рамках государственного задания Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (тема № 124012400352-6).
Об авторах
Виталий Владимирович Волчков
ФГБОУ ВО «Донецкий государственный университет»
Россия
Россия
доктор физико-математических наук
Глеб Витальевич Краснощёких
ФГБОУ ВО «Донецкий государственный университет»
Россия
Россия
аспирант
Список литературы
1. Delsarte, J. Les fonctions ‘moyenne-p´eriodiques’ / J. Delsarte // J. Math. Pures Appl. – 1935. – V. 14, №. 9. – P. 403–453.
2. Schwartz, L. Theorie g´en´erale des functions moyenne-periodiqu˝e / L. Schawrtz // Annals of Mathematics. – 1947. – V. 48. – P. 857–928.
3. Kahane, J.P. Sur les fonctions moyenne–p´eriodiques born´ees / J.P. Kahane // Ann. Inst. Fourier (Grenoble). – 1957. – V. 7. – P. 293–314.
4. Никольский, Н.К. Инвариантные подпространства в теории операторов и теории функций / Н.К. Никольский // Итоги науки и техн. Сер. Мат. анал. – 1974. – Т. 12. – C. 199–412. – DOI 10.1007/BF01247397.
5. Беренстейн, К.А. Комплексный анализ и уравнения в свёртках / К.А. Беренстейн,
6. Д. Струппа // Итоги науки и техники. Совр. матем. и прил. – 1989. – Т. 54. – С. 5–111.
7. DOI 10.1007/978-3-652-58011-6.
8. Титчмарш, Э.Ч. Введение в теорию интегралов Фурье / Э.Ч. Титчмарш. – Москва:
9. ГИТТЛ, 1948. – 418 с.
10. Йон, Ф. Плоские вольные и сферические средние в применении к дифференциальным уравнениям с частными производными / Ф. Йон. – Москва: ИЛ, 1958. – 158 с. – DOI 10.1007/978-1-4613-9453-2.
11. Любич, Ю.И. Об одном классе интегральных уравнений / Ю.И. Любич // Матем. сб. –
12. – Т. 38(80), № 2. – С. 183–202.
13. Леонтьев, А.Ф. О свойствах последовательностей полиномов Дирихле, сходящихся на интервале мнимой оси / А.Ф. Леонтьев // Изв. АН СССР. Сер. матем. – 1965. – Т. 29, № 2. – C. 269–328.
14. Smith, J.D. Harmonic analysis of scalar and vector fields in R𝑛 / J.D. Smith // Proc. Cambridge Philos. Soc. – 1972. – V. 72. – P. 403–416. – DOI 10.1017/S0305004100047241.
15. Леонтьев, А.Ф. Последовательности полиномов из экспонент / А.Ф. Леонтьев. – Москва: Наука, 1980. – 384 с.
16. Волчков, В.В. Окончательный вариант локальной теоремы о двух радиусах / В.В. Волчков // Мат. сб. – 1995. – Т. 186, № 6. – С. 15–34. – DOI 10.1070/SM1995v186n06ABEH000043.
17. Volchkov, V.V. Integral Geometry and Convolution Equations / V.V. Volchkov. – Dordrecht:
18. Kluwer Academic Publishers, 2003. – 454 p. – DOI 10.1007/978-94-010-0023-9.
19. Volchkov, V.V. Harmonic Analysis of Mean Periodic Functions on Symmetric Spaces and the Heisenberg Group / V.V. Volchkov, Vit.V. Volchkov. – London: Springer, 2009. – 671 p. –
20. DOI 10.1007/978-1-84882-533-8.
21. Зарайский, Д.А. Теорема единственности для функций с нулевыми интегралами по шарам / Д.А. Зарайский // Труды ИПММ НАН Украины. – 2012. – Т. 25. – С. 77–83.
22. Зарайский, Д.А. Класс функций, периодических в среднем, однозначно определяющихся своими значениями на "периоде"/ Д.А. Зарайский // Труды ИПММ. – 2019. – Т. 33. – С. 38–41.
23. Зарайский, Д.А. Теорема единственности для решений уравнения свертки с радиальным свертывателем / Д.А. Зарайский // Материалы IV Межд. науч. конф. «Донецкие чтения 2019: образование, наука, инновации, культура и вызовы современности». Том 1 Физико-математические и технические науки, Часть 1. – 2019. – С. 127–128.
24. Quinto, E.T. Pompeiu transforms on geodesic spheres in real analytic manifolds /
25. E.T. Quinto // Israel J. Math. – 1993. – V. 84. – P. 353–363. – DOI 10.1007/BF02760947.
26. Любич, Ю.И. К теореме единственности для функций, периодических в среднем /
27. Ю.И. Любич // Зап. науч. сем. ЛОМИ. – 1978. – Т. 81. – С. 166. – DOI 10.1007/BF01221539.
28. Каргаев, П.П. О нулях функций, периодических в среднем / П.П. Каргаев // Матем.
29. заметки. – 1985. – Т. 37, № 3. – С. 322–325. – DOI 10.1007/BF01158736.
30. Зарайский, Д.А. Уточнение теоремы единственности для решений уравнения свертки / Д.А. Зарайский // Труды ИПММ НАН Украины. – 2006. – Т. 12. – С. 69–75.
31. Волчков, В.В. Экстремальные задачи, связанные с теоремой единственности Ф. Йона / В.В. Волчков, Вит.В. Волчков // Алгебра и анализ. – 2009. – Т. 21, № 5. – С. 37–69. – DOI 10.1090/S1061-0022-2010-01113-0.
32. Volchkov, V.V. Offbeat Integral Geometry on Symmetric Spaces / V.V. Volchkov,
33. Vit. V. Volchkov. – Basel: Birkh¨auser, 2013. – 592 p. – DOI 10.1007/978-3-0348-0572-8.
34. Волчков, В.В. Сферические средние на двухточечно-однорожных пространствах и их приложения / В.В. Волчков, Вит.В. Волчков // Изв. РАН. Сер. матем. – 2013. – Т. 77, № 2. – С. 3–34. – DOI 10.4213/im7956.
35. Волчков, В.В. О множествах инъективности преобразования Радона на сферах /
36. В.В. Волчков // Изв. РАН. Сер. матем. – 1999. – Т. 63, № 3. – С. 63–76. – DOI 10.4213/im248.
37. Волчков, В.В. Экстремальные варианты проблемы Помпейю / В.В. Волчков // Матем. заметки. – 1996. – Т. 59, № 5. – С. 671–680. – DOI 10.4213/mzm1761.
38. Зарайский, Д.А. Новая теорема единственности для одномерного уравнения свертки / Д.А. Зарайский // Труды ИПММ. – 2020. – Т. 34. – С. 63–67.
39. Selmi, B. A Local Two Radii Theorem on the Ch´ebli-Trim`eche Hypergroup / B. Selmi,
40. M.M. Nessibi // Journal of Mathematical Analysis and Applications. – 2007. – V. 329, № 1. –
41. P. 163–190. – DOI 10.1016/j.jmaa.2006.06.061.
42. Волчков, Вит.В. Уточнение теоремы о двух радиусах на гипергруппе Бесселя-Кингмана / Вит.В. Волчков, Г.В. Краснощёких // Мат. заметки. – 2024. – Т. 116, № 2. – C. 212–228. – DOI 10.4213/mzm14184.
43. Волчков, В.В. Теоремы единственности для кратных лакунарных тригонометрических рядов / В.В. Волчков // Мат. заметки. – 1992. – Т. 51, № 6. – С. 27–31. – DOI 10.1007/BF01263296.
44. Винер, Н. Преобразование Фурье в комплексной плоскости // Н. Винер, Р. Пэли. – Москва: Наука, 1964. – 268 с. – DOI 10.1007/BF01699343.
45. Levinson, N. Gap and density theorems // N. Levinson. – Providence: Amer. Math. Soc., 1940. – 243 p.
46. Ситник, С.М. Метод операторов преобразования для дифференциальных уравнений с операторами Бесселя // С.М. Ситник, Э.Л. Шишкина. – Москва: Физматлит, 2019. – 224 с.
47. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции. Том 1, 2 // Г. Бейтмен, А. Эрдейи. –
48. Москва: Наука, 1973, 1974. – 294, 296 с.
Рецензия
Для цитирования:
Волчков В.В., Краснощёких Г.В. О нулях периодических в среднем функций относительно свёртки Бесселя. Чебышевский сборник. 2024;25(5):57-73. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2024-25-5-57-73
For citation:
Volchkov V.V., Krasnoschekikh G.V. On the zeros of mean-periodic functions with respect to the Bessel convolution. Chebyshevskii Sbornik. 2024;25(5):57-73. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2024-25-5-57-73
Просмотров:
319
Послать статью по эл. почте 