К ТЕОРЕМЕ БЭРА-КАПЛАНСКОГО ДЛЯ КВАДРАТИЧНО-РАЗЛОЖИМЫХ ГРУПП БЕЗ КРУЧЕНИЯ

Аннотация

Взаимосвязь структуры абелевой группы со структурой кольца ее эндоморфизмов является классической проблемой в теории абелевых групп. В частности, Бэром и Капланским было доказано, что если группы A и B — периодические, то группа A изоморфна группе B тогда и только тогда, когда их кольца эндоморфизмов изоморфны. В более общем случае, когда группы A и B смешанные или без кручения, теорема Бэра- Капланского не имеет места. В данной статье рассматривается класс p-локальных абелевых групп без кручения конечного ранга. Пусть K — поле такое, что Q ⊂ K ⊂ Qbp и пусть R = K ∩ Zbp, где Q — поле рациональных чисел, Zbp — кольцо целых p-адических чисел, Qbp — поле p-адических чисел. Поле K назы- вается полем расщепления (кольцо R называется кольцом расщепления) для p-локальной редуцированной абелевой группы без кручения конечно- го ранга или, что A является K-разложимой группой, если A ⊗Zp R является прямой суммой делимого R-модуля и свободного R-модуля. В работе охарактеризованы p-локальные абелевы группы без кручения конечного ранга с квадратичным полем расщепления. В качестве применения доказано, что K-разложимые p-локальные абелевы группы без кручения A и B изоморфны в том и только в том случае, если изоморфны их кольца эндоморфизмов.