Реализация и тестирование методов расчета напряженно-деформированного состояния упруго-пластических оболочек в CAE Fidesys

В статье приведена общая постановка краевых задач механики деформируемого твердого тела для упруго-пластических оболочек. Рассмотрен подход к численному моделированию оболочек в MITC формулировке при малых деформациях в рамках метода конечных элементов, который был реализован в отечественном пакете прочностного анализа CAE Fidesys. Особенностью разработки является учет эффектов пластического течения при расчете оболочек путем реализации алгоритмов интегрирования по толщине оболочки. Таким образом, появляется возможность использования напрямую критерия пластичности Губера-Мизеса в отличие от ряда исследований, в которых условие достижения пластичности записано в результантах. Для решения нелинейных систем уравнений применен метод Ньютона-Раффсона. В работе рассмотрен и приведен ряд ключевых аспектов соответствующей математической модели. Произведена оценка качества реализации алгоритмов посредством сравнения результатов, полученных в CAE Fidesys, с аналогичными результатами в других CAE пакетах для задач о нагружении упруго-пластических кольцевых пластин. В частности, рассмотрена задача, соответствующая задаче Ламе в условиях
плоско-напряженного состояния, а также задача об изгибе пластинки.

1. Zienkiewicz O. C., Taylor R. L., Fox D. D. The finite element method for solid and structural mechanics. 7-th edition. Elsevier, 2014. P. 624. ISBN: 9781856176347

2. Седов Л. И. Механика сплошной среды. Том 2. М.: Наука, 1970. 568 с.

3. Лурье А. И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512 с.

4. Черных К.Ф. Линейная теория оболочек. Ч. 2. Л.: Изд-во Ленингр ун-та, 1964. 395 с.

5. Новожилов В.В., Черных К.Ф., Михайловский Е.И. Линейная теория тонких оболочек. Л.: Политехника, 1991. 656 с. ISBN: 5-7325-0127-4

6. Simo J. C., Kennedy J. G. On a stress resultant geometrically exact shell model. Part V. Nonlinear plasticity: formulation and integration algorithms // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1992. Vol. 96, №2. P. 133–171. https://doi.org/10.1016/0045-7825(92)90129-8

7. Ильюшин А.А. Пластичность. Ч.1. Упруго-пластические деформации. М.: ОГИЗ, 1948. 376 с.

8. Shapiro G.S. On yield surfaces for ideally plastic shells // Problems of Continuum Mechanics. 1961. Vol. 10. P. 414-418. https://doi.org/10.1007/978-3-7091-2442-0_5

9. Lubliner J. Plasticity theory. London: Pearson Education, Inc, 2006. P. 528.

10. Neto E. A. de S., Peric D., Owen D. R. J. Computational Methods for Plasticity: Theory and Applications. Wiley, 2008. P. 816. ISBN: 978-0-470-69463-3

11. Dequiedt J.L., Bolis C., Dambakizi F. Tresca criterion for plasticity and viscoplasticity: Application to localization in biaxial loading conditions // EPJ Web of Conferences. 2012. Vol. 26. 04002. https://doi.org/10.1051/epjconf/20122604002

12. Montag U., Kr¨atzig W. B., Soric J. Increasing solution stability for finite-element modeling of elasto-plastic shell response // Advances in Engineering Software. 1999. Vol. 30, №9-11. P. 607–619. https://doi.org/10.1016/s0965-9978(98)00104-5

13. Kutlu A., Meschke G., Omurtag M.H. A new mixed finite-element approach for the elastoplastic analysis of Mindlin plates // J Eng Math 99. 2016. P. 137–155. https://doi.org/10.1007/s10665-015-9825-7

14. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977. 349 с.

15. Luo X., Yau S. S.-T. Complete real time solution of the general nonlinear filtering problem without memory // IEEE Transactions on Automatic Control. 2013. Vol. 58, №10. P. 2563 – 2578. https://doi.org/10.48550/arXiv.1208.0962

16. Sussman T., Bathe K. J. A finite element formulation for nonlinear incompressible elastic and inelastic analysis // Comput. and Struct. 1987. Vol. 26, №1-2. P. 357–409. https://doi.org/10.1016/0045-7949(87)90265-3

17. Морозов Е. М., Левин В. А., Вершинин А. В. Прочностной анализ: Фидесис в руках инженера. М.: ЛЕНАНД, 2015. 408 с. ISBN: 9785971025252

18. Vershinin A. V., Levin V. A., Zingerman K. M., Sboychakov A. M., Yakovlev M. Y. Software for estimation of second order effective material properties of porous samples with geometrical and physical nonlinearity accounted for // Advances in Engineering Software. 2015. Vol. 86. P. 80-84. https://doi.org/10.1016/j.advengsoft.2015.04.007

19. Левин В. А., Вершинин А. В. Нелинейная вычислительная механика прочности. Том 2. Численные методы. Параллельные вычисления на ЭВМ. Под общ. ред. В. А. Левина. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2015. 544 с. ISBN: 9785922116329

20. Petrovskiy K.A., Vershinin A.V., Levin V.A. Application of spectral elements method to calculation of stress-strain state of anisotropic laminated shells // IOP Conf. Series: Materials Science and Engineering. 2016. Vol. 158. P. 012077. http://iopscience.iop.org/article/10.1088/1757-899X/158/1/012077

21. Левин В. А., Вершинин А. В., Мишин И. А., Сбойчаков А. М., Петровский К. А. Распространение упругих волн в нелинейно-упругих средах с начальными деформациями. Компьютерное моделирование с использованием программного комплекса прочностного инженерного анализа FIDESYS // Технологии сейсморазведки. 2012. №4. С. 29-32.

22. Качанов Л. М. Основы теории пластичности. М.: Наука, 1969. 421 с.

23. Маркин А. А., Христич Д.В. Нелинейная теория упругости: учеб. пособие: 2-е изд. Тула: Изд-во Тул. Гос. ун-та, 2007. 92 с. ISBN: 5-7679-1118-9: 4500.00

24. Bathe K.-J., Iosilevich A., Chapelle D. An evaluation of the MITC shell elements // Computers & Structures. 2000. Vol. 75, №1. P. 1–30. https://doi.org/10.1016/s0045-7949(99)00214-x

25. Rezaiee-Pajand M., Ramezani M. An evaluation of MITC and ANS elements in the nonlinear analysis of shell structures // Mechanics of Advanced Materials and Structures. 2021. P. 1–21.

26. https://doi.org/10.1080/15376494.2021.1934917

27. Lee P.-S., Bathe K.-J. The quadratic MITC plate and MITC shell elements in plate bending // Advances in Engineering Software. 2010. Vol. 41, №5. P. 712–728. https://doi.org/10.1016/j.advengsoft.2009.12.011

28. Bucalem M. L., Bathe K.-J. Higher-order MITC general shell elements // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1993. Vol. 36, №21. P. 3729–3754. https://doi.org/10.1002/nme.1620362109

29. Serpieri R., Sessa S., Rosati L. A MITC-based procedure for the numerical integration of a continuum elastic-plastic theory of through-the-thickness-jacketed shell structures // Composite Structures. 2018. Vol. 191. P. 209–220. https://doi.org/10.1016/j.compstruct.2018.02.031

30. Bathe K.-J., Brezzi F., Marini L. D. The MITC9 shell element in plate bending: mathematical analysis of a simplified case // Computational Mechanics. 2011. Vol. 47, №6. P. 617–626. https://doi.org/10.1007/s00466-010-0565-2

31. Moulas E. , Podladchikov Y. , Zingerman K. , Vershinin A. , Levin V. Large-strain Elastic and Elasto-Plastic Formulations for Host-Inclusion Systems and Their Applications in Thermobarometry and Geodynamics // American Journal of Science. 2023. Vol. 323. P. 1–23. https://doi.org/10.2475/001c.68195

32. Levin V.A., Podladchikov Y.Y., Zingerman K.M. An exact solution to the Lame problem for a hollow sphere for new types of nonlinear elastic materials in the case of large deformations // European Journal of Mechanics - A/Solids. 2021. Vol. 90. 104345. https://doi.org/10.1016/j.euromechsol.2021.104345.

33. Levin V.A., Zingerman K.M. A class of methods and algorithms for the analysis of successive origination of holes in a pre-stressed viscoelastic body. Finite strains // Communications in Numerical Methods in Engineering. 2008. Vol. 24, №12. P. 2240-2251. https://doi.org/10.1002/cnm.1080

34. Levin V. A., Vershinin A. V. Non-stationary plane problem of the successive origination of stress concentrators in a loaded body. Finite deformations and their superposition // Communications in Numerical Methods in Engineering. 2008. Vol. 24, №12. P. 2229-2239. https://doi.org/10.1002/cnm.1092

35. Konovalov D., Vershinin A., Zingerman K., Levin V. The implementation of spectral element method in a CAE system for the solution of elasticity problems on hybrid curvilinear meshes // Modeling and Simulation in Engineering. 2017, art. id. 1797561. https://doi.org/10.1155/2017/1797561