Сопоставление решений квазистатической задачи о нагружении пластины, построенных методом структурных функций и методом конечных элементов
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2024-25-4-175-196
Аннотация
Цель данной статьи – сопоставление приближенных решений одной квазистатической задачи теории упругости для слоистого материала. Рассматриваются приближенные решения, построенные по методу структурных функций В. И. Горбачева с вариацией конкретных параметров метода, а также приближенные решения, построенные методом конечных
элементов. В качестве тестовой выбрана задача о нагружении трехслойной прямоугольной пластины, слои которой ортотропны в осях координат, параллельных сторонам пластины; боковые грани пластины закреплены так, что на каждой из граней возможны только перемещения в направлении, нормальном к этой грани. В статье приводится процедура построения приближенных решений указанной задачи при помощи метода структурных функций. Данный метод для указанной задачи состоит в вычислении перемещений в неоднородной пластине как частичной суммы ряда по производным решения так называемой сопутствующей задачи – иначе говоря, по перемещениям в однородной пластине аналогичной геометрии, закрепленной и нагруженной так же, как неоднородная пластина. Коэффициенты этой частичной суммы называются структурными функциями, а порядок производных в слагаемых, входящих в частичную сумму, называют порядком метода структурных функций. В статье приведены приближенные решения указанной задачи,
построенные методом структурных функций первого и второго порядка, а также предложен новый вариант выбора упругих свойств сопутствующего тела. Для двух тестовых пластин – симметричной и не симметричной относительно серединной плоскости – проведено численное сравнение приближений, построенных по методу структурных функций, конечноэлементых приближений, основанных на использовании восьмиузловых и двадцатиузловых конечных элементов, и решения по методу N. J. Pagano. Показано, что даже для пластин с большим отношением толщины к длине (1/4) метод структурных функций дает удовлетворительное приближение, а повышение порядка метода повышает качество приближения.
Об авторах
Любовь Александровна Кабанова
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
Россия
Россия
Александр Вячеславович Романов
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
Россия
Россия
Список литературы
1. Горбачев В. И. О представлении решений линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами //Вестник Московского университета. Серия 1: Математика. Механика. – 2000. – №. 6. – С. 68-71.
2. Горбачев В. И. Метод тензоров Грина для решения краевых задач теории упругости неоднородных сред //Вычислительная механика деформируемого твердого тела. – 1991. – Т. 2. – №. 2. – С. 61-76.
3. Горбачев В. И. Интегральные формулы в симметричной и несимметричной упругости // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. – 2009. – №. 6. – С. 52-56.
4. Новацкий В. Теория упругости. – 1975.
5. Горбачев В. И. Динамические задачи механики композитов //Известия Российской академии наук. Серия физическая. – 2011. – Т. 75. – №. 1. – С. 117-122.
6. Горбачев В. И. О распространении тепла в неоднородном стержне с переменным поперечным сечением //Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. – 2017. – №. 2. – С. 48-54.
7. Горбачев В. И. Интегральные формулы в связанной задаче термоупругости неоднородного тела. Применение в механике композитов //Прикладная математика и механика. – 2014. – Т. 78. – №. 2. – С. 277-299.
8. Горбачев В. И., Емельянов А. Н. Осреднение уравнений моментной теории упругости неоднородного тела //Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. – 2014. – №. 1. – С. 95-107.
9. Горбачев В. И., Москаленко О. Б. Устойчивость стержней с переменной жесткостью при сжатии распределенной нагрузкой //Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. – 2012. – №. 1. – С. 41-47.
10. Горбачев В. И. Инженерная теория сопротивления неоднородных стержней из композиционных материалов //Вестник Московского государственного технического университета им. НЭ Баумана. Серия «Естественные науки». – 2016. – №. 6 (69). – С. 56-72.
11. Горбачев В. И. Инженерная теория деформирования неоднородных пластин из композиционных материалов //Механика композиционных материалов и конструкций. – 2016. – Т. 22. – №. 4. – С. 585-601.
12. Gorbachev V. I. About a Problem of Sturm–Liuvill //Lobachevskii Journal of Mathematics. – 2021. – Т. 42. – С. 1829-1836.
13. Gorbachev V. I. About one approach to a solution of linear differential equations with variable coefficients //Lobachevskii Journal of Mathematics. – 2019. – Т. 40. – С. 969-980.
14. Горбачев В. И. Эффективные определяющие соотношения неупругих композитов // Чебышевский сборник. – 2022. – Т. 23. – №. 3 (84). – С. 194-206.
15. Горбачев В. И. Об эффективных коэффициентах упругости неоднородного тела // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. – 2018. – №. 4. – С. 115-126.
16. Соляев Ю. О., Горбачев В. И. Сопоставление методов Мори-Танака и Горбачева-Победри в задаче определения эффективных свойств композитов с пьезоактивными сферическими включениями //Механика композиционных материалов и конструкций. – 2019. – Т. 25. – №. 1. – С. 57-75.
17. Горбачев В. И. Дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами в механике неоднородных тел //Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. – 2020. – №. 3. – С. 114-121.
18. Горбачев В. И., Гулин В. В. Точные решения некоторых задач теории упругости о равновесии неоднородной по ширине, анизотропной полосы // Композиты и наноструктуры. — 2021. — Т. 13, № 3-4. — С. 120–126.
19. Kabanova L. A. The first-order structural functions method solution to the simply supported layered plate bending problem //Lobachevskii Journal of Mathematics. – 2022. – Т. 43. – №. 7. – С. 1866-1877.
20. Кабанова Л. А. Метод структурных функций в решении задачи об изгибе линейно-упругой ортотропной свободно опертой на контуре пластины //XIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. – 2023. – С. 885-888.
21. Кабанова Л. А. Сопоставление приближений решения задачи об изгибе линейно-упругой слоистой пластины, полученных методом структурных функций //Чебышевский сборник. – 2022. – Т. 23. – №. 4 (85). – С. 211-232.
22. Бахвалов Н. С. Осреднение дифференциальных уравнений с частными производными с быстро осциллирующими коэффициентами //Доклады Академии наук. – Российская академия наук, 1975. – Т. 221. – №. 3. – С. 516-519.
23. Бахвалов НС П. Г. П. Осреднение процессов в периодических средах. – 1984.
24. Победря Б. Е., Омаров С. Е. Определяющие соотношения моментной теории упругости //Вестник Московского университета. Серия 1: Математика. Механика. – 2007. – №. 3. – С. 56-58.
25. Власов А. Н. Сведение уравнения теории упругости со случайными коэффициентами на области с периодической структурой к усредненному уравнению теории упругости с постоянными коэффициентами. Эффективный тензор жесткости //Механика композиционных материалов и конструкций. – 2021. – Т. 27. – №. 3. – С. 309-322.
26. Pagano N. J. Exact solutions for rectangular bidirectional composites and sandwich plates //Journal of composite materials. – 1970. – Т. 4. – №. 1. – С. 20-34.
27. Lezgy-Nazargah M., Salahshuran S. A new mixed-field theory for bending and vibration analysis of multi-layered composite plate //Archives of Civil and Mechanical Engineering. – 2018. – Т. 18. – №. 3. – С. 818-832.
28. Allam M. N. M., Zenkour A. M., El-Mekawy H. F. Bending response of inhomogeneous fiberreinforced viscoelastic sandwich plates //Acta Mechanica. – 2010. – Т. 209. – С. 231-248.
29. Zenkour A. M., El-Mekawy H. F. Bending of inhomogeneous sandwich plates with viscoelastic cores //Journal of Vibroengineering. – 2014. – Т. 16. – №. 7. – С. 3260-3272.
30. Carrera E. Theories and finite elements for multilayered plates and shells: a unified compact formulation with numerical assessment and benchmarking //Archives of Computational Methods in Engineering. – 2003. – Т. 10. – С. 215-296.
31. Carrera E. An assessment of mixed and classical theories on global and local response of multilayered orthotropic plates //Composite structures. – 2000. – Т. 50. – №. 2. – С. 183-198.
32. Победря Б. Е. Численные методы в теории упругости и пластичности //М.: изд-во МГУ. – 1995. – Т. 366. – С. 25.
33. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач: Пер. с англ. – мир, 1980.
34. Никабадзе М. У. Развитие метода ортогональных полиномов в механике микрополярных и классических упругих тонких тел //М.: Изд-во Попечительского совета мех.-мат. ф-та МГУ. – 2014.
35. Романов А. В. О вариационном принципе Лагранжа микрополярной теории упругости в случае трансверсально-изотропной среды //Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. – 2022. – №. 4. – С. 35-39.
36. Романов А. В. О вариационном принципе Лагранжа микрополярной теории упругости в случае ортотропной среды // Вестник Московского университета. Серия 1: Математика. Механика. — 2023. — № 1. — С. 68–72.
37. Романов А. В. О вариационном принципе Лагранжа микрополярной теории упругости при неизотермических процессах //Вестник Московского университета. Серия 1: Математика. Механика. – 2023. – №. 4. – С. 64-68.
38. Романов А. В. Применение метода редуцированного и селективного интегрирования в задачах микрополярной теории упругости //Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. – 2024. – №. 1. – С. 65-69.
39. Победря Б. Е., Георгиевский Д. В. Лекции по теории упругости. – 1999.
40. Zienkiewicz O. C., Taylor R. L., Zhu J. Z. The finite element method: its basis and fundamentals. – Elsevier, 2005.
Рецензия
Для цитирования:
Кабанова Л.А., Романов А.В. Сопоставление решений квазистатической задачи о нагружении пластины, построенных методом структурных функций и методом конечных элементов. Чебышевский сборник. 2024;25(4):175-196. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2024-25-4-175-196
For citation:
Kabanova L.A., Romanov A.V. Comparison of approximate solutions to the quasi-static plate loading problem, obtained by the structural functions method and the finite element method. Chebyshevskii Sbornik. 2024;25(4):175-196. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2024-25-4-175-196
Просмотров:
49
Послать статью по эл. почте 