Чебышевская аппроксимация в коэффициентной обратной задаче для алгебраического многочлена с предписанным младшим коэффициентом

В статье посредством специально сконструированных узлов сетки аппроксимации определяется класс многочленов 𝐿𝑛(𝑧, 𝑢) степени 𝑛 ⩾ 1, наименее уклоняющихся от нуля на отрезке – −1 ⩽ 𝑢 ⩽ 1, равных нулю при 𝑢 = −1. Для многочленов 𝐿𝑛(𝑧, 𝑢): описана связь
с многочленами Чебышева первого рода; изучен 𝑛-точечный альтернанс; найдены экстремумы; получены точные выражения корней и координат точек максимума и минимума; выведена формула старшего коэффициента; найден отрезок, где многочлен монотонно возрастает и стремится к +∞ при 𝑢 → +∞. Приведены конкретные примеры альтернанса второго, третьего и четвертого порядка. Мы рассматриваем алгебраические многочлены
степени 𝑛 с действительными коэффициентами. При обработке входных данных использована равномерная непрерывная норма абсолютной погрешности. Исследовано влияние погрешности входных данных на качество аппроксимации в коэффициентной обратной задаче для алгебраического многочлена с предписанным младшим коэффициентом. В задаче минимизации влияния погрешности входных данных целевая функция описана в виде абсолютного числа обусловленности задачи, равного значению функции Лебега. На графическом материале показано увеличение численного значения абсолютного числа обусловленности задачи при отклонении координат узлов сетки аппроксимации от оптимальных.
Для минимизации влияния погрешности входных данных на точность вычисления коэффициентов исследуемого алгебраического многочлена специально сконструировано
расположение узлов сетки аппроксимации. При чебышевской аппроксимации получена связь узлов с точками альтернанса многочленов 𝐿𝑛(𝑧, 𝑢) линейной функцией.

1. Bakushinsky A. B., Kokurin M. M., Kokurin M. Yu. Regularization Algorithms for Ill-Posed Problems. Inverse and Ill-Posed Problems Series, 61. De Gruyter; Boston, USA, 2018.

2. Ватульян А. О., Плотников Д. К. Обратные коэффициентные задачи в механике // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. 2019. №3. С. 37-47. DOI: 10.15593/perm.mech/2019.3.04.

3. Самарский А.А, Вабищевич П.Н. Численные методы решения обратных задач математической физики, М.: Изд-во ЛКИ, 2009. 480 с.

4. Добровольский Н. Н., Ларин Н. В., Скобельцын С. А., Толоконников Л. А. О решениях обратных задач дифракции звуковых волн // Чебышевcкий сборник. 2019. Т. 20. Вып. 3. С. 220–245. DOI 10.22405/2226-8383-2019-20-3-220-245

5. Cheney E.W., Kincaid D.R. Numerical Mathematics and Computing. Thomson Brooks/Cole; Belmont, California, USA, 2013.

6. Горелик В. А., Золотова Т. В. Полный метод чебышевской интерполяции в задаче построения линейной регрессии // Чебышевcкий сборник. 2022. Т. 23. Вып. 4. С. 52–63. DOI 10.22405/2226-8383-2022-23-4-52-63

7. Турчак Л. И., Плотников П. В. Основы численных методов, М.: Физматлит, 2005. 304 с.

8. Денисов А. М. Введение в теорию обратных задач, М.: Изд-во МГУ, 1994. 208 с.

9. Бернштейн С.Н. Об ограничениях значений многочлена 𝑃𝑛(𝑥) степени 𝑛 на всем отрезке по его значениям в 𝑛+1 точках отрезка. Собр.соч. 2. М.: Изд-во АН СССР, 1954, с.107-126.

10. Бабенко К. И. Основы численного анализа, М.; Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. 848 с.

11. Вержбицкий В.М. Основы численных методов, М ; Берлин : Директ-Медиа, 2021. 850 с.

12. Loktionov A. P. Regularization of the lattice time function of the signal in the communication channel // Telecommunications and Radio Engineering. 2013. Vol. 72, № 2, p. 161-171. DOI:10.1615/TelecomRadEng.v72.i2.70.

13. Локтионов А. П. Чебышёвский альтернанс при аппроксимации начальных условий обратной задачи Коши // Известия Юго-Западного государственного университета. 2021. Т. 25(3). С. 86-102. https://doi.org/10.21869/2223-1560-2021-25-3-86-102.

14. Золотарев Е.И. Приложение эллиптических функций к вопросам о функциях, наименее и наиболее отклоняющихся от нуля. В: Золотарев Е.И. Собр.соч. Выпуск второй. Л.: Изд-во АН СССР; 1932. С. 1-59.

15. Агафонова И. В., Малоземов В. Н. Экстремальные полиномы, связанные с полиномами Золотарёва // Доклады Академии наук. 2016. Т. 5. Вып. 467. С. 255–256. DOI: 10.7868/S0869565216090036.

16. Малоземов В.Н. Что даёт информация об альтернансе? В: Малозёмов В.Н. Избранные лекции по экстремальным задачам. Часть вторая. СПб.: Изд-во ВВМ, 2017. C. 259-267.

17. Малоземов В.Н., Тамасян Г.Ш. Этюд на тему полиномиальной фильтровой задачи (𝑛 = 3). В: Малозёмов В.Н. Избранные лекции по экстремальным задачам. Часть вторая. СПб.: Изд-во ВВМ, 2017. C. 305-315.

18. Прасолов В.В. Многочлены, М : МЦНМО, 2003. 336 с.

19. Агафонова И. В., Малоземов В. Н. Экстремальные полиномы, связанные с полиномами Золотарёва // Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2020. Т. 65(7). Вып. 1. С. 3-14.

20. Соловьев С. Ю. Об одном классе множителей многочленов Чебышева // Чебышевcкий сборник. 2021. Т. 22. Вып. 4. С. 241–252. DOI 10.22405/2226-8383-2021-22-4-241-252