Погрешность приближенного интегрирования на классах функций, заданных моноидами натуральных чисел

В работе получены ответы на следующие вопросы.
Во-первых, вопрос о том, в каком случае номера гармоник из класса (𝑀_𝑠)^𝛼 не попадают в решётку решений линейного сравнения, соответствующего параллелепипедальной сетке. В
результате появился новый объект исследования – пересечение решётки решений линейного сравнения, соответствующего параллелепипедальной сетке, и многомерного мононоида,
задающего класс функций.
Во-вторых, как выглядят граничные функции этих классов для параллелепипедальных сеток. Здесь не получилось простого конечного вида в виде выражения от элементарных функций, а только выражение в виде рядов согласно общей теории. Оценка погрешности приближенного интегрирования на классе 𝑀𝛼
𝑠 связана с изучением нового теоретико-числового объекта – гиперболической дзета-функции пересечения решётки решений линейного сравнения и многомерного моноида, задающего класс функций. Здесь удалось получить аналог усиленной теоремы Бахвалова — Коробова.
Наконец, третий вопрос, связанный с тем фактом, что параллелепипедальные сетки — это сетки интерполяционного типа: какова погрешность интерполяционных многочленов
для допустимых параллелепипедальных сеток в случае моноида 𝑀𝑞,1. Здесь ответ получился следующий: интерполяционные формулы по параллелепипедальным сеткам точны только для некоторых тригонометрических многочленов, у которых все гармоники попадают в полную систему вычетов фундаментальной решётки по подрешётки решений соответствующего линейного сравнения. В общем случае оценка погрешности аналогична
оценкам для класса Коробова.

1. Добровольская Л. П., Добровольский Н. М., Симонов А. С. О погрешности приближенного интегрирования по модифицированным сеткам // Чебышевский сборник 2008 Т. 9, вып. 1(25). С. 185 — 223.

2. Добровольский М. Н. Оценки сумм по гиперболическому кресту // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2003. Т. 9, вып. 1. С. 82 — 90.

3. М. Н. Добровольский, Н. Н. Добровольский, Н. М. Добровольский. О точности квадратурных формул с оптимальными параллелепипедальными сетками // Чебышевcкий сборник. 2023. Т. 24, вып. 4, С. 35–40.

4. Добровольский Н. М. Гиперболическая дзета функция решёток // Деп. в ВИНИТИ 24.08.84. — № 6090–84.

5. Добровольский Н. М., Есаян А. Р., Андреева О. В., Зайцева Н. В. Многомерная теоретико-числовая Фурье интерполяция // Чебышевский сборник, 2004, Т. 5. Вып. 1(9). Тула, Из-во ТГПУ им. Л. Н. Толстого. С. 122 – 143.

6. Добровольский Н. М., Манохин Е. В. Банаховы пространства периодических функций // Изв. ТулГУ. Сер. Механика. Математика. Информатика. Т. 4, вып. 3. Тула, 1998. C. 56–67.

7. Добровольский Н. Н. Отклонение двумерных сеток Смоляка // Чебышевский сборник 2007. Т. 8, вып. 1(21). С. 110 — 152.

8. Добровольский Н. Н. О гиперболическом параметре сетки // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2013. Вып. 2. Ч. 1. С. 6 — 18.

9. Н. Н. Добровольский, Н. М. Добровольский, И. Ю. Реброва, А. В. Родионов. Моноиды натуральных чисел в теоретико-числовом методе в приближенном анализе // Чебышевcкий сборник. 2019. Т. 20, вып. 1. С. 164–179.

10. Коробов Н. М. Вычисление кратных интегралов методом оптимальных коэффициентов // Вестн. Моск. ун-та, 1959. № 4. С. 19 — 25.

11. Коробов Н. М. О приближенном вычислении кратных интегралов // ДАН СССР. 1959. Т. 124, № 6. С. 1207 — 1210.

12. Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе // М.: Физматгиз, 1963.

13. Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. (второе издание) // М.: МЦНМО, 2004. 288 с.

14. Н. М. Коробов , М. Н. Добровольский, Н. Н. Добровольский, Н. М. Добровольский. Об оценке погрешности квадратурных формул с оптимальными параллелепипедальными сетками II// Чебышевcкий сборник. 2023. Т. 24, вып. 4, С. 345–353.

15. Н. К. Тер-Гукасова, М. Н. Добровольский, Н. Н. Добровольский, Н. М. Добровольский. О числе точек решетки решений линейного сравнения в прямоугольных областях // Чебышевcкий сборник, 2022, Т. 23, вып. 5, С. 130–144.

16. Н. К. Тер-Гукасова, М. Н. Добровольский, Н. Н. Добровольский, Н. М. Добровольский. О числе точек решетки решений линейного сравнения в прямоугольных областях II// Чебышевcкий сборник, 2023, Т. 24, вып. 4, С. 9–22.

17. К. Чандрасекхаран. Введение в аналитическую теорию чисел. / М.: Из-во "МИР", 1974.