Метод решения задачи Дельсарта для взвешенных дизайнов на компактных однородных пространствах

Предложен метод решения экстремальной задачи Дельсарта 𝐴𝑠 для взвешенных дизайнов. Величина 𝐴𝑠 равна верхней грани 𝑓(1) на классе непрерывных неотрицательных на [−1, 1] функций 𝑓, представимых разложением Фурье–Якоби с единичным нулевым коэффициентом и неположительными коэффициентами, начиная с номера 𝑠 + 1. Основное приложение задачи 𝐴𝑠 заключается в оценке снизу числа узлов взвешенных 𝑠-дизайнов (или квадратурных формул, точных на подпространстве полиномов степени не выше 𝑠) на компактных однородных римановых пространствах ранга 1, где зональными функциями являются многочлены Якоби. Метод решения задачи 𝐴𝑠 базируется на выпуклом анализе и следует результатам В.В. Арестова и А.Г. Бабенко для случая сферических кодов, а также частным вариантам, полученным И.А. Мартьяновым и автором. Метод состоит из нескольких шагов, включая формулировку двойственной задачи для меры Стилтьеса, доказательство существования экстремальной функции и меры, выписывание соотношений двойственности, характеризация на их основе экстремальных функции и меры, сведение задачи к полиномиальной системе уравнений, доказательство в конкретных случаях существования в окрестности численного решения единственного действительного аналитического решения системы. Этот шаг делается сертификацией решения при помощи пакета
HomotopyContinuation.jl, где реализован интервальный метод Кравчука. Также применяется равномерная оценка многочленов Якоби типа Стилтьеса–Бернштейна. Описанным способом в качестве примера было решено две новых задачи Дельсарта. Также в случае, отвечающим проективным пространствам доказано, что экстремальная функция является многочленом. Для случая, отвечающего сфере, это пока открытая проблема. Данные результаты полезны в проблеме дискретизации интегральной нормы при оценке числа узлов дискретных норм.

1. Сеге Г. Ортогональные многочлены. М.: Физматлит, 1962.

2. Koornwinder T. The addition formula for Jacobi polynomials and spherical harmonics // SIAM J. Appl. Math. 1973. Vol. 25, №2. P. 236–246.

3. Koornwinder T. Jacobi polynomials, II. An analytic proof of the product formula // SIAM J. Math. Anal. 1974. Vol. 5, №1. P. 125–137.

4. Levenshtein V. On designs in compact metric spaces and a universal bound on their size // Discrete Math. 1998. Vol. 192, №1–3. P. 251–271.

5. Горбачев Д. В., Иванов В. И. Лекции о квадратурных формулах и их применении в экстремальных задачах. Тула: Изд-во ТулГУ, 2022.

6. Юдин В. А. Нижние оценки для сферических дизайнов // Изв. РАН. Сер. матем. 1997. Том 61, №3. С. 213–223.

7. Горбачев Д. В. Об оценках снизу мощностей дизайнов на проективных пространствах // Изв. ТулГУ. Сер. Информатика. 1999. Том 5, №3. С. 33–37.

8. Lyubich Y. I. Lower bounds for projective designs, cubature formulas and related isometric embeddings // European J. Combin. 2009. Vol. 30, №4. P. 841–852.

9. Delsarte P., Goethals J. M., Seidel J. J. Spherical codes and designs // Geom. Dedicata. 1977. Vol. 6. P. 363–388.

10. Мысовских И. П. Интерполяционные кубатурные формулы. М.: Наука, 1981.

11. Дай Ф., Примак А., Темляков В. Н., Тихонов С.Ю. Дискретизация интегральной нормы и близкие задачи // УМН. 2019. Том 74, №4(448). С. 3–58.

12. Bondarenko A., Radchenko D., Viazovska M. Optimal asymptotic bounds for spherical designs // Ann. of Math. 2013. Vol. 178, №2. P. 443–452.

13. Etayo U., Marzo J., Ortega-Cerd`a J. Asymptotically optimal designs on compact algebraic manifolds // Monatsh. Math. 2018. Vol. 186, №2. P. 235–248.

14. Андреев Н. Н. Минимальный дизайн 11-го порядка на трехмерной сфере // Матем. заметки. 2000. Том 67, №4. С. 489–497.

15. Boyvalenkov P., Nikova S. Improvements of the lower bounds on the size of some spherical designs // Mathematica Balkanica. 1998. Vol. 12. P. 151–160.

16. Арестов В. В., Бабенко А. Г. О схеме Дельсарта оценки контактных чисел // Труды МИАН. 1997. Том 219. С. 44–73.

17. Гольштейн Е. Г. Теория двойственности в математическом программировании и ее приложения. М.: Наука, 1971.

18. Штром Д. В. Метод Дельсарта в задаче о контактных числах евклидовых пространств больших размерностей // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2002. Том 8, №2. С. 162–189.

19. Куклин Н. А. Метод Дельсарта в задаче о контактных числах пространств больших размерностей // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2012. Том 18, №4. С. 224–239.

20. Musin O. R. The kissing number in four dimensions // Ann. of Math. (2). 2008. Vol. 168, №1. P. 1–32.

21. Мартьянов И. А. Решение задачи Дельсарта для 4-дизайнов на сфере 𝑆2 // Чебышевский сборник. 2021. Том 22, №3. С. 154–165.

22. Горбачев Д. В., Мартьянов И. А. Задача Дельсарта для 4-дизайнов на единичной 3-сфере // Чебышевский сборник. 2022. Том 23, №4. С. 157–161.

23. Бондаренко А.В., Горбачев Д.В. Минимальные взвешенные 4-дизайны на сфере 𝑆2 // Матем. заметки. 2012. Том 91, №5. С. 787–790.

24. Luenberger D. G. Optimization by vector space methods. John Wiley & Sons, 1997.

25. Gon¸calves F., Oliveira e Silva D., Steinerberger S. Hermite polynomials, linear flows on the torus, and an uncertainty principle for roots // J. Math. Anal. Appl. 2017. Vol. 451, №2. P. 678–711.

26. Odlyzko A. M., Sloane N. J. A. New bounds on the number of unit spheres that can touch a unit sphere in 𝑛 dimensions // J. Combin. Theory Ser. A. 1979. Vol. 26, №2. P. 210–214.

27. Cohn H., de Laat D., Leijenhorst N. Optimality of spherical codes via exact semidefinite programming bounds // arXiv:2403.16874. 2024.

28. Breiding P., Rose K., Timme S. Certifying zeros of polynomial systems using interval arithmetic // ACM Trans. Math. Software. 2023. Vol. 49, №1. Art. id. 11.

29. Krawczyk R. Newton-algorithmen zur bestimmung von nullstellen mit fehlerschranken // Computing. 1969. Vol. 4, №3. P. 187–201.

30. Haagerup U., Schlichtkrull H. Inequalities for Jacobi polynomials // Ramanujan J. 2014. Vol. 33. P. 227–246.