Об одном уравнении типа Брио—Буке

Аннотация

Данная статья посвящена задаче изучения мероморфных решений алгебраических
дифференциальных уравнений, являющейся традиционной для теории дифференциальных уравнений. К настоящему времени достаточно хорошо исследован случай линейных уравнений. Что касается нелинейных уравнений, то здесь результатов, относящихся к более или менее общим классам уравнений, сравнительно немного. Одним из классов алгебраических дифференциальных уравнений, где получен ряд общих результатов, являются так называемые уравнения типа Брио-Буке. Это уравнения вида 𝑃(𝑦, 𝑦(𝑛)) = 0, где 𝑃 — многочлен с комплексными коэффициентами, 𝑛 ∈ N. Исследование мероморфных решений уравнений такого типа начато в работах Ш. Брио, Ж. К. Буке и Ш. Эрмита, которые описали все возможные решения уравнений вида 𝑃(𝑦, 𝑦′) = 0, показав, что все они лежат в классе 𝑊, состоящем из рациональных функций, рациональных функций от некоторой
экспоненциальной функции и эллиптических функций. Далее была опубликована работа
Э. Пикара, который доказал, что все решения уравнений вида 𝑃(𝑦, 𝑦′′) = 0 также лежат в
𝑊.
В дальнейшем возникла гипотеза о том, что у любого уравнения вида 𝑃(𝑦, 𝑦(𝑛)) = 0 (при некоторых ограничениях на многочлен 𝑃) все мероморфные решения лежат в 𝑊. Над
доказательством этой гипотезы работали Э. Хилле, Р. Кауфман, С. Бэнк, А. Ерёменко, Л.
Лиао, Т. Нг, А. Янченко и другие математики. К настоящему времени справедливость гипотезы установлена во многих случаях. Остается, однако, ряд случаев, в которых гипотеза не доказана и не опровергнута.
В данной работе рассмотрен один такой случай, а именно уравнения 𝑦(𝑛) = 𝑦𝑚, где 𝑛,𝑚 ∈ N, 𝑚 ⩾ 2. Найдено необходимое и достаточное условие существования ненулевых мероморфных решений указанных уравнений и сами эти решения.