Характеризация дедекиндова и счётно-дедекиндова расширения решёточного линейного пространства непрерывных ограниченных функций посредством порядковых границ
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2024-25-3-86-100
Аннотация
В 1872 году Р. Дедекиндом была построено множество вещественных чисел R как некоторое расширение множества рациональных чисел Q способом взятия счётных порядковых регулярных сечений. Этот способ был обобщён и применён Г. Макнейлом к некоторым упорядоченным математическим системам. В данной статье способ Дедекинда – Макнейла применяется к математической системе 𝐶, порождённой семейством 𝐶𝑏(𝑇, 𝒢) всех непрерывных ограниченных функций 𝑓 : 𝑇 /R на тихоновском топологическом пространстве (𝑇, 𝒢).
Рассматривается дедекиндово расширение 𝐶 / / 𝐷(𝐶), а также счётно-дедекиндово расширение 𝐶 / / 𝐷0(𝐶), как более близкий аналог классического расширения Q / / R.
Даются функционально-факторные описания указанных расширений через семейства рав-
номерных функций относительно ансамблей подмножеств множества 𝑇, обладающих свой-
ством Стоуна и конуль-свойством Стоуна.
Даются характеризации указанных расширений как некоторых пополнений решёточного линейного пространства 𝐶, наделённого некоторой локальной структурой идеального
измельчения.
Функциональное описание и характеризация счётно-дедекиндова расширения 𝐶 / /𝐷0(𝐶) оказываются удивительным образом совпадающим с функциональным описанием и характеризацией риманова расширения 𝐶 / /𝑅𝜇, порождённого фактор-семейством всех функций на тихоновском пространстве (𝑇, 𝒢), 𝜇-интегрируемых по Риману относительно положительной ограниченной радоновской меры 𝜇.
Об авторах
Валерий Константинович Захаров
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
Россия
Россия
доктор физико-математических наук
Тимофей Викторович Родионов
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
Россия
Россия
кандидат физико-математических наук
Список литературы
1. H. M. MacNeille, Partially ordered sets // Trans. AMS, 42:4 (1937), 416–460.
2. V. K. Zakharov, Functional characterization of absolute and Dedekind completion // Bull. de l’Academia Polonais des Sci. Ser. math., 39:5-6 (1981), 293–297.
3. В. К. Захаров, Описание некоторых расширений семейства непрерывных функций посредством порядковых границ // Доклады РАН, 400:4 (2005), 444–448. EDN: OONKMB.
4. В. К. Захаров, Характеризация классических расширений семейства непрерывных функций как некоторых дедекиндовых оболочек // Доклады РАН, 411:4 (2006), 444–448. EDN:HZIUEP.
5. V. K. Zakharov, On functions connected with absolute, Dedekind completion, and divisible envelope // Periodica Math. Hungar, 18:1 (1987), 17–26.
6. В. К. Захаров, Связь между классическим кольцом частных кольца непрерывных функций и функциями, интегрируемыми по Риману // Фундам. и прикл. матем., 1:1 (1995), 161–176.
7. В. К. Захаров, Расширения кольца непрерывных функций, порождённые классическим, рациональным и регулярным кольцами частных как делимые оболочки // Матем. сб., 186:12 (1995), 81–118.
8. V. K. Zakharov, Classical extensions of the ring of continuous functions and the corresponding preimages of a completely regular space // J. of Math. Sciences, 73:1 (1995), 114–139.
9. В. К. Захаров, Связи между расширением Римана и классическим кольцом частных и между прообразом Семадени и секвенциальным абсолютом // Труды Моск. матем. об-ва, 57 (1996), 254–279.
10. В. К. Захаров, Характеризация расширения решеточного линейного пространства непрерывных ограниченных функций, порождённого функциями, 𝜇-интегрируемыми по Риману, посредством порядковых границ // Алгебра и анализ, 35:4 (2023), 135–166. EDN: OSCXNS.
11. V. K. Zakharov, Characterization of the extension of lattice linear space of continuous bounded functions generated by 𝜇-Riemann-integrable functions by means of order boundaries // Lobachevskii Journal of Math., 43:11 (2022), 3315–3334. DOI: 10.1134/S1995080222140384.
12. В. К. Захаров, Т. В. Родионов, Характеризация счетно-дедекиндова расширения решеточного линейного пространства непрерывных ограниченных функций посредством порядковых границ // Межд. конфер. “Математика в созвездии наук”. К юбилею ректора МГУ, акад. В. А. Садовничего. Тезисы докладов, М.: Издательский дом МГУ, 2024, 51–52.
13. V. K. Zakharov, T. V. Rodionov, Sets, Functions, Measures. Vol. I: Fundamentals of Set and Number Theory, De Gruyter Studies in Mathematics, vol. 68/1, Berlin: de Gruyter, 2018. DOI: 10.1515/9783110550948.
14. V. K. Zakharov, T. V. Rodionov, A. V. Mikhalev, Sets, Functions, Measures. Vol. II:
15. Fundamentals of Function and Measure Theory, De Gruyter Studies in Mathematics, vol. 68/2, Berlin: de Gruyter, 2018. DOI: 10.1515/9783110550962.
16. К. Иосида, Функциональный анализ, Москва: Мир, 1967.
17. V. K. Zakharov, On functions connected with sequential absolute, Cantor completion, and classical ring of quotients // Periodica Math. Hungar, 19:2 (1987), 113–133.
18. Yu. Utumi, On quotient rings // Osaka Math. J., 8:1 (1956), 1–18.
Рецензия
Для цитирования:
Захаров В.К., Родионов Т.В. Характеризация дедекиндова и счётно-дедекиндова расширения решёточного линейного пространства непрерывных ограниченных функций посредством порядковых границ. Чебышевский сборник. 2024;25(3):86-100. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2024-25-3-86-100
For citation:
Zakharov V.K., Rodionov T.V. Characterization of the Dedekind and countably Dedekind extensions of the lattice linear space of continuous bounded functions by means of order boundaries. Chebyshevskii Sbornik. 2024;25(3):86-100. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2024-25-3-86-100
Просмотров:
56
Послать статью по эл. почте 