Песочные паттерны на регулярном графе с вершинами степени восемь
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2024-25-3-47-69
Аннотация
Система находится в критическом состоянии, если даже небольшое возмущение может привести к глобальным изменениям. Таковы, например, любые фазовые переходы: в воде, охлаждённой до нуля градусов, один центр кристаллизации быстро разрастается до большого кластера. Впервые концепцию самоорганизующейся критичности предложили Бэк, Тэнг и Вайзенфелд в 1987 году. В своей работе они описали систему, ставшую классической моделью самоорганизующейся критичности: на квадратной сетке в некоторых узлах лежат песчинки, суммарно конечное число. Если в одном из узлов лежит более трёх песчинок, происходит обвал: четыре песчинки из этого узла перераспределяется на соседние узлы, это может вызвать обвалы в них, потом в их соседях... Обвалы будут лавинообразно происходить до тех пор, пока система вновь не вернется в равновесное состояние, этот процесс называется релаксацией.
В настоящей статье представлены результаты экспериментального и теоретического
исследования следующей задачи. Рассмотрим регулярный граф, вершинами которого являются точки плоскости, обе координаты которых целые, и каждая вершина соединена с 8 ближайшими вершинами. В точку (0,0) положим большое числе песчинок и произведём релаксацию. Результат релаксации имеет очевидную фрактальную структуру, видимую в компьютерных экспериментах, и части этой структуры могут быть описаны.
Мы классифицируем некоторые возникающие паттерны и предлагаем гипотезы о их устройстве (опираясь на похожие результаты для других регулярных графов). Доказаны оценки на среднее число песка в появляющихся паттернах.
При поддержке: Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект 20-71-00007).
Об авторах
Павел Витальевич Гранин
Санкт-Петербургский государственный университет
Россия
Россия
Никита Сергеевич Калинин
Гуандун-Технион (Шаньтоу, Китай); Технион (г. Хайфа, Израиль).
Китай
Китай
Артур Суренович Саакян
Санкт-Петербургский государственный университет
Россия
Россия
Список литературы
1. I. Alevy and S. Mkrtchyan. The limit shape of the leaky abelian sandpile model // arXiv
2. preprint arXiv:2010.01946, 2020.
3. A. Bou-Rabee. A shape theorem for exploding sandpiles. // arXiv preprint arXiv:2102.04422, 2021.
4. D. Dhar. Self-organized critical state of sandpile automaton models // Phys. Rev. Lett.,
5. (14):1613–1616, 1990.
6. A. Fey, L. Levine, and Y. Peres. Growth rates and explosions in sandpiles // J. Stat. Phys., 138(1-3):143–159, 2010.
7. N. Kalinin and M. Shkolnikov. Tropical curves in sandpiles // Comptes Rendus Mathematique, 354(2):125–130, 2016.
8. N. Kalinin and M. Shkolnikov. Introduction to tropical series and wave dynamic on them // Discrete & Continuous Dynamical Systems-A, 38(6):2843–2865, 2018.
9. N. Kalinin and M. Shkolnikov. Sandpile solitons via smoothing of superharmonic functions. Communications in Mathematical Physics, 378(3):1649–1675, 2020.
10. M. Lang and M. Shkolnikov. Harmonic dynamics of the abelian sandpile // Proceedings of the National Academy of Sciences, 116(8):2821–2830, 2019.
11. L. Levine, W. Pegden, and C. K. Smart. Apollonian structure in the Abelian sandpile // Geom. Funct. Anal., 26(1):306–336, 2016.
12. L. Levine, W. Pegden, and C. K. Smart. The Apollonian structure of integer superharmonic matrices // Ann. of Math. (2), 186(1):1–67, 2017.
13. A. Melchionna. The sandpile identity element on an ellipse // arXiv preprint arXiv:2007.05792, 2020.
14. S. Ostojic. Patterns formed by addition of grains to only one site of an abelian sandpile // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 318(1):187–199, 2003.
15. W. Pegden and C. K. Smart. Convergence of the Abelian sandpile // Duke Math. J., 162(4):627– 642, 2013.
16. D. Rossin. Proprietes combinatoires de certaines familles d’automates cellulaires // PhD thesis, Ph. D. Thesis, ´Ecole Polytechnique, 2000.
17. K. Schmidt and E. Verbitskiy. Abelian sandpiles and the harmonic model // Communications in Mathematical Physics, 292(3):721–759, 2009.
18. Aliev, A.A., Kalinin, N.S. Convergence of a sandpile on a triangular lattice under rescaling // Matematicheskii Sbornik.- 2023.- vol. 214.- iss. 12.- pp. 3–25.
Рецензия
Для цитирования:
Гранин П.В., Калинин Н.С., Саакян А.С. Песочные паттерны на регулярном графе с вершинами степени восемь. Чебышевский сборник. 2024;25(3):47-69. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2024-25-3-47-69
For citation:
Granin P.V., Kalinin N.S., Saakyan A.S. Sandpile patterns on a regular graph of degree eight. Chebyshevskii Sbornik. 2024;25(3):47-69. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2024-25-3-47-69
Просмотров:
69
Послать статью по эл. почте 