ОЦЕНКА КОРОТКИХ КУБИЧЕСКИХ ДВОЙНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ СУММ С «ДЛИННЫМ» СПЛОШНЫМ СУММИРОВАНИЕМ

Аннотация

И. М. Виноградов первым начал изучать короткие тригонометрические суммы с простыми числами. Для сумм вида Sk(α; x, y) = X x−y<n6x Λ(n)e(αnk), α = a q + λ, |λ| 6 1 qτ , 1 6 q 6 τ. при k = 1, используя свой метод оценок сумм с простыми числами, он доказал нетриви- альную оценку при exp(c(ln ln x)2) ≪ q ≪ x1/3, y > x2/3+ε, основу которой наряду с «решетом Виноградова», при k = 1 составляют оценки коротких двойных тригонометрических сумм вида Jk(α; x, y,M,N) = X M<m62M a(m) X U<n62N x−y<mn6x b(n)e(α(mn)k), где a(m) и b(n) – произвольные комплекснозначные функции, M, N – натуральные, N 6 U < 2N, x > x0, y – вещественные числа. Затем Хейзелгроув, В. Статулявычус, Пан Чен-дон и Пан Чен-бьяо, Чжан Тао получили нетривиальную оценку суммы S1(α; x, y), y > xθ, q — произвольное, и доказали асимптотическую формулу в тернарной проблемы Гольдбаха с почти равными слагаемыми с условиями |pi − N/3| 6 H, H = Nθ, соответственно при θ = 63 64 + ε, 279 308 + ε, 2 3 + ε, 5 8 + ε.  Сумму J2(α; x, y,M,N) изучили Дж. Лю и Чжан Тао и получили нетривиальную оценку суммы S2(α; x, y) при y > x 11 16+ε.  Работа посвящена выводу нетривиальных оценок сумм J3(α; x, y,M,N), в которых имеется «длинная» сплошная сумма на малых дугах.