Акустические волны в гипоупругих телах. II. Анизотропные материалы

Для гипоупругих анизотропных материалов выписаны определяющие соотношения нелинейной упругости, устанавливающие связь между обобщенными яуманновскими производными тензора напряжений и неголономной меры деформаций, введенной в работах А.А. Маркина. Связь конкретизирована для анизотропных материалов с кубической симметрией свойств. Соотношения записаны в проекциях в упругие собственные подпространства кубического материала. Проведен анализ взаимного влияния процессов конечного
деформирования, принадлежащих различным собственным подпространствам.

Рассмотрены процессы деформирования, в которых главные оси деформаций совпадают с одними и теми же материальными волокнами, положение которых относительно главных осей анизотропии не изменяется. Для таких процессов выписаны упругие потенциалы для двух моделей материалов: общей, содержащей девять упругих констант, и модели, удовлетворяющей обобщению частного постулата А.А. Ильюшина на анизотропные материалы, содержащей шесть констант.

Приведены результаты решения задачи о распространении акустических волн в гипоупругих анизотропных материалах с кубической симметрией свойств. В качестве начальных деформаций материала рассмотрены деформации, целиком расположенные в его упругих собственных подпространствах: чисто объемная деформация, растяжение-сжатие в главных осях анизотропии, чистый сдвиг в плоскости главных осей анизотропии. Предварительные конечные чисто объемные деформации не оказывают влияния на форму угловых зависимостей фазовых скоростей распространения волн в вертикальной плоскости, а влияют только на величины фазовых скоростей. При предварительном формоизменении материал приобретает дополнительную анизотропию, а форма угловых зависимостей
фазовых скоростей изменяется. Результаты показывают, что в некоторых случаях шестиконстантная модель материала не прогнозирует изменение скоростей распространения поперечных волн при начальных конечных деформациях.

1. Thurston R. N., Brugger K. Third-order elastic constants and the velocity of small amplitude

2. waves in homogeneously stressed media // Phys. Rev. 1964. Vol 133. P. A1604–A1610.

3. Brugger K. Pure modes for elastic waves in crystals // J. Appl. Phys. 1965. Vol. 36. № 3. P.

4. -768.

5. Черных К.Ф. Введение в анизотропную упругость. М.: Наука, 1988. 192 с.

6. Knowles K. M. The biaxial moduli of cubic materials subjected to an equi-biaxial elastic strain

7. // Journal of Elasticity. 2016. Vol. 124. P. 1-25.

8. Duffy T. S. Single-crystal elastic properties of minerals and related materials with cubic

9. symmetry // American Mineralogist. 2018. Vol. 103. No. 6. P. 977-988.

10. Kambouchev N., Fernandez J., Radovitzky R. A polyconvex model for materials with cubic

11. symmetry // Modelling and Simulation in Materials Science and Engineering. 2007. Vol. 15. N.

12. P. 451-468.

13. Kube C. M., Turner J. A. Estimates of nonlinear elastic constants and acoustic nonlinearity

14. parameters for textured polycrystals // Journal of Elasticity. 2016. Vol. 122. N. 2. P. 157-177.

15. Kube C. M. Scattering of harmonic waves from a nonlinear elastic inclusion // The Journal of the Acoustical Society of America. 2017. Vol. 141, № 6.

16. Маркин А. А., Соколова М.Ю. Термомеханика упругопластического деформирования. М.: Физматлит, 2013. 320 с.

17. Маркин А. А., Соколова М. Ю., Христич Д. В. Постулат А.А. Ильюшина для анизотропных материалов и вариант определяющих соотношений //Известия РАН. Механика твердого тела. 2011. № 1. С.38-45.

18. Маркин А. А., Толоконников Л. А. Меры процессов конечного деформирования // Известия Северо-Кавказского научного центра высшей школы. Естественные науки. 1987. № 2. С. 49-53.

19. Маркин А.А., Соколова М. Ю., Христич Д. В. Нелинейная упругость кубических кри-

20. сталлов // Упругость и неупругость. Материалы Международного научного симпозиума

21. по проблемам механики деформируемых тел, посвященного 110-летию со дня рождения

22. А.А. Ильюшина (Москва, 20–21 января 2021 года) / Под ред. проф. Г. Л. Бровко, проф.

23. Д. В. Георгиевского, проф. И. Н. Молодцова. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2021. С.100-110.

24. Остросаблин Н. И. О структуре тензора модулей упругости. Собственные упругие состояния // Динамика твердого деформируемого тела. Сибирское отделение АН СССР. Ин-т гидродинамики. 1984. В. 66. С. 113-125.

25. Рыхлевский Я. О законе Гука // Прикладная математика и механика. 1984. Т. 48. В. 3.

26. С. 420-435.

27. Соколова М. Ю., Христич Д. В. Конечные деформации нелинейно упругих анизотропных материалов // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2021. № 70. С. 103-116.

28. Гузь А. Н. Упругие волны в телах с начальными напряжениями / В двух томах. Киев:

29. Наукова Думка, 1986.

30. Лурье А. И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука. 1980. 512 с.