Об одной аддитивной задаче, связанной с разложениями по линейной рекуррентой последовательности

Аннотация

Пусть 𝑎1, . . . , 𝑎𝑑 – натуральные числа, удовлетворяющие условию 𝑎1 ≥ 𝑎2 ≥ . . . ≥ 𝑎𝑑−1 ≥ 𝑎𝑑 = 1. Определим последовательность {𝑇𝑛} при помощи линейного рекуррентного соотношения 𝑇𝑛 = 𝑎1𝑇𝑛−1 + 𝑎2𝑇𝑛−2 + . . . + 𝑎𝑑𝑇𝑛−𝑑 и начальных условий 𝑇0 = 1,
𝑇𝑛 = 1 + 𝑎1𝑇𝑛−1 + 𝑎2𝑇𝑛−2 + . . . + 𝑎𝑛𝑇0 для 𝑛 < 𝑑. Пусть N(𝑤) – множество натуральных чисел, для которых жадное разложение по линейной рекуррентной последовательности {𝑇𝑛} заканчивается на некоторое слово 𝑤. При этом 𝑤 выбирается так, чтобы множество N(𝑤) было непустым. Рассматривается задача о числе 𝑟𝑘(𝑁) представлений натурального числа 𝑁 в виде суммы 𝑘 слагаемых из N(𝑤).
С использованием полученного ранее описания множеств N(𝑤) в терминах сдвигов торов размерности 𝑑−1 получена асимтотическая формула для числа представлений 𝑟𝑘(𝑁),
а также найдены верхние оценки для числа представлений.
Найдены условия на 𝑘, при выполнении которых искомое представление существует для всех достаточно больших натуральных 𝑁. В частности, такое представление существует, если , где 𝑚 – длина фиксированного окончания 𝑤 жадного разложения. Кроме того, получена асимтотическая формула для среднего числа представлений.
В заключении сформулировано несколько нерешенных задач.