Об оценках длин периодов функциональных непрерывных дробей над алгебраическими числовыми полями
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2023-24-3-162-189
Аннотация
В статье исследуются верхние оценки на длины периодов функциональных непрерывных дробей для ключевых элементов гиперэллиптических полей над числовыми полями. В случае, когда гиперэллиптическое поле задается многочленом нечетной степени, конечная длина периода тривиальным образом оценивается сверху удвоенной степенью фундаментальной 𝑆-единицы. Более интересный и сложный случай, когда гиперэллиптическое поле задается многочленом четной степени. В 2019 году В.П. Платоновым и Г.В. Федоровым для гиперэллиптических полей ℒ = Q(𝑥)(√𝑓), deg 𝑓 = 2𝑔 + 2, над полем Q рациональных чисел найден точный промежуток значений 𝑠 ∈ Z таких, что непрерывные дроби элементов вида √𝑓/𝑥𝑠 ∈ ℒ ∖ Q(𝑥) периодические. В данной статье найдено обобщение этого результата для произвольного поля в качестве поля констант. Опираясь на этот результат, найдены точные оценки сверху на длины периодов функциональных непрерывных дробей элементов гиперэллиптических полей над числовыми полями 𝐾, зависящие только от рода 𝑔 гиперэллиптического поля, степени расширения 𝑘 = [𝐾 : Q] и порядка 𝑚 подгруппы кручения якобиана соответствующей гиперэллиптической кривой.
Ключевые слова
Непрерывные дроби,
длина периода,
гиперэллиптическое поле,
фундаментальные S-единицы,
проблема кручения в якобианах.
При поддержке: Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект 22-71-00101).
Об авторе
Глеб Владимирович Фёдоров
Научно- технологический университет «Сириус»
Россия
Россия
кандидат физико-математических наук, доцент
Список литературы
1. Artin E. Quadratische K´’orper im Gebiete der h´’oheren Kongruenzen. I // Math. Z. 1924. Vol. 19, № 1. P. 153-246.
2. Платонов В. П. Теоретико-числовые свойства гиперэллиптических полей и проблема кручения в якобианах гиперэллиптических кривых над полем рациональных чисел // УМН. 2014. Том 69, № 1(415). С. 3-38.
3. Adams W. W., Razar M. J. Multiples of points on elliptic curves and continued fractions // Proc. London Math. Soc. 1980. Vol. 41, № 2. P. 481-498.
4. Schmidt W. M. On continued fractions and diophantine approximation in power series fields // Acta arithmetica. 2000. Vol. 95, № 2. P. 139-166.
5. Беняш-Кривец В. В., Платонов В. П. Группы S-единиц в гиперэллиптических полях и непрерывные дроби // Матем. сб. 2009. Том 200, № 1. С. 15-44.
6. Платонов В. П., Федоров Г. В. О проблеме периодичности непрерывных дробей в гиперэллиптических полях // Матем. сб. 2018. Том 209, № 4. С. 54-94.
7. Федоров Г. В. О проблеме описания элементов эллиптических полей с периодическим разложением в непрерывную дробь над квадратичными полями констант // ДАН. 2022. Том 505, № 4. С. 56-62.
8. Платонов В. П., Жгун В. С., Петрунин М. М. О проблеме периодичности разложений в непрерывную дробь
9. √𝑓 для кубических многочленов 𝑓 над полями алгебраических чисел // Матем. сб. 2022. Том 213, № 3. С. 139-170.
10. Платонов В. П., Федоров Г. В. О проблеме классификации многочленов 𝑓 с периодическим разложением
11. √𝑓 в непрерывную дробь в гиперэллиптических полях // Известия РАН. Серия математическая. 2021. Том 85, № 5. С. 152-189.
12. Платонов В. П., Федоров Г. В. О проблеме классификации периодических непрерывных дробей в гиперэллиптических полях // Успехи математических наук. 2020. Том 75, № 4. С. 211-212.
13. Платонов В. П., Жгун В. С., Федоров Г. В. О периодичности непрерывных дробей в гиперэллиптических полях над квадратичным полем констант // ДАН. 2018. Том 482, № 2. С. 137-141.
14. Платонов В. П., Петрунин М. М. Группы S-единиц и проблема периодичности непрерывных дробей в гиперэллиптических полях // Тр. МИАН. 2018. Том 302. С. 354-376.
15. Платонов В. П., Федоров Г. В. S-единицы и периодичность непрерывных дробей в гиперэллиптических полях // ДАН. 2015. Том 465, № 5. С. 537-541.
16. Hickerson D. Length of period simple continued fraction expansion of √𝑑 // Pacific Journal of Mathematics. 1973. Vol. 46, № 2. P. 429-432.
17. Cohn J. The length of the period of the simple continued fraction of 𝑑1/2 // Pacific Journal of Mathematics. 1977. Vol. 71, № 1. P. 21-32.
18. Mkaouar M. Fractions continues et series formelles algebriques reduites // Portugaliae Mathematica. 2001. Vol. 58, № 4. P. 439-448.
19. Hbaib M., Mkaouar M. and Tounsi K. Un critere de transcendance dans le corps des series formelles F𝑞((𝑋−1)) // J. Number Theory. 2006. Vol. 116. P. 140-149.
20. Basma A. On the continued fraction period for a square root of polynomial in F𝑞[𝑋] // Journal for Algebra and Number Theory Academia. 2015. Vol. 5, № 3. P. 81-89.
21. Schinzel A. On some problems of the arithmetical theory of continued fractions // Acta Arith. 1960/1961. Vol. 6. P. 393-413.
22. Schinzel A. On some problems of the arithmetical theory of continued fractions. II // Acta Arith. 1961/1962. Vol. 7. P. 287-298.
23. Kubert D. S. Universal bounds on the torsion of elliptic curves // Proc. London Math. Soc. (3). 1976. Vol. 33, № 2. P. 193-237.
24. Van Der Poorten A. J., Tran X. C. Periodic continued fractions in elliptic function fields // International Algorithmic Number Theory Symposium. Springer, Berlin, Heidelberg. 2002. P. 390-404.
25. Scherr Z. L. Rational polynomial pell equations (thesis). // The University of Michigan, 2016.
26. Sadek M. Periodic continued fractions and elliptic curves over quadratic fields // Journal of Symbolic Computation. 2016. Vol. 76. P. 200-218.
27. Berry T. G. On periodicity of continued fractions in hyperelliptic function fields // Arch. Math. 1990. Vol. 55. P. 259-266.
28. Платонов В. П., Жгун В. С., Федоров Г. В. Непрерывные дроби в гиперэллиптических полях и многочлены Мамфорда // ДАН. 2016. Том 471, № 6. С. 640-644.
29. Платонов В. П., Федоров Г. В. Критерий периодичности непрерывных дробей ключевых элементов гиперэллиптических полей // Чебышевский сборник. 2019. Том 20, № 1. С. 246-258.
30. Федоров Г. В. Об ограниченности длин периодов непрерывных дробей ключевых элементов гиперэллиптических полей над полем рациональных чисел // Чебышевский сборник. 2019. Том 20, № 4. С. 321-334.
31. Федоров Г. В. О длине периода функциональной непрерывной дроби над числовым полем // ДАН. 2020. Том 495. С. 78-83.
32. Avanzi R. M., Zannier U. M. Genus one curves defined by separated variable polynomials and a polynomial Pell equation // Acta Arithmetica. 2001. Vol. 99. P. 227-256.
33. Van Der Poorten A. J. Some facts that should be better known, especially about rational functions // Number theory and applications (Banff, AB, 1988). 1989. Vol. 265. P. 497-528.
34. Добровольский Н. М., Добровольский Н. Н., Соболев Д. К., Соболева В. Н. Классификация чисто-вещественных алгебраических иррациональностей // Чебышевский сборник. 2017. Том 18, № 2. С. 98-128.
35. Rosenlicht M. Equivalence relations on algebraic curves // Ann. of Math. 1952. Vol. 56, № 3. P. 169–191.
36. Rosenlicht M. Generalized Jacobian varieties // Ann. of Math. 1954. Vol. 59, № 3. P. 505–530.
37. Serre Jean-Pierre Algebraic groups and class fields. — New York. Springer-Verlag, 1988.
38. Жгун В. С. Обобщенные якобианы и непрерывные дроби в гиперэллиптических полях // Чебышевский сборник. 2017. Том 18, № 4. С. 208-220.
39. Zannier U. Hyperelliptic continued fractions and generalized Jacobians // American Journal of Mathematics. 2019. Vol. 141, № 1. P. 1-40.
Рецензия
Для цитирования:
Фёдоров Г.В. Об оценках длин периодов функциональных непрерывных дробей над алгебраическими числовыми полями. Чебышевский сборник. 2023;24(3):162-189. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2023-24-3-162-189
For citation:
Fedorov G.V. On estimates for the period length of functional continued fractions over algebraic number fields. Chebyshevskii Sbornik. 2023;24(3):162-189. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2023-24-3-162-189
Просмотров:
550
Послать статью по эл. почте 