Постоянные отношения для точек перегиба кубической кривой с узловой или изолированной точкой

В статье получены проективные инварианты кубических кривых с узловой или изолированной точкой. Доказано, что на проективной плоскости каждые две точки перегиба кубической кривой с узловой (изолированной) точкой находятся в эквиангармоническом
отношении с расположенными на содержащей их прямой точками касательных данной кривой в ее узловой (изолированной) точке. А каждые три точки перегиба такой кривой находятся в квазиангармоническом отношении с расположенной на содержащей их прямой точкой касательной данной кривой в ее узловой (изолированной) точке.
Установлено, что на проективной плоскости любые две крунодальные (акнодальные) кубики проективно эквивалентны.
Доказано, что четыре прямые, содержащие узловую (изолированную) точку кубики, а именно: прямая точек перегиба, касательная и псевдокасательная к кривой в точке перегиба, касательная к кривой в точке, сопряженной с точкой перегиба, находятся в постоянном
сложном отношении, равном −3. На основании этого факта обоснован ряд свойств кубических кривых с узловой (изолированной) точкой на евклидовой плоскости 𝐸2. Приведем некоторые из доказанных свойств, обозначая кубическую кривую символом 𝜎, а ее узловую или изолированную точку — символом 𝐼.
1. Если касательные к 𝜎 в изолированной точке 𝐼 проходят через циклические точки плоскости 𝐸2, то величина угла между любыми двумя прямыми, каждая из которых соединяет точку 𝐼 с точкой перегиба данной кривой, равна 𝜋/3.
2. Псевдокасательная в точке 𝐼 разделяет полосу между проходящими через 𝐼 параллельными касательными к 𝜎 в отношении три к одному, считая от касательной к 𝜎 в сопряженной с 𝐼 точке, тогда и только тогда, когда прямая точек перегиба линии 𝜎 совпадает с абсолютной прямой плоскости 𝐸2.
3. Касательная линии 𝜎 в сопряженной с 𝐼 точке разделяет полосу между взаимно параллельными псевдокасательной в точке 𝐼 и прямой точек перегиба линии 𝜎 в отношении три к одному, считая от псевдокасательной, тогда и только тогда, когда касательная линии 𝜎 в точке 𝐼 совпадает с абсолютной прямой плоскости 𝐸2.
4. Прямая точек перегиба линии 𝜎 разделяет полосу между проходящими через 𝐼 параллельными касательными к 𝜎 в отношении три к одному, считая от касательной линии 𝜎 в точке 𝐼, тогда и только тогда, когда псевдокасательная линии 𝜎 в точке 𝐼 совпадает с абсолютной прямой плоскости 𝐸2.
5. Касательная линии 𝜎 в точке 𝐼 разделяет полосу между прямой точек перегиба и параллельной ей псевдокасательной в точке 𝐼 в отношении три к одному, считая от прямой точек перегиба, тогда и только тогда, когда касательная линии 𝜎 в сопряженной с 𝐼 точке совпадает с абсолютной прямой плоскости 𝐸2.

1. Атанасян Л. С., Базылев В. Т. Геометрия. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. В 2 ч. Ч. 2. — М. : Просвещение, 1987. 352 с.

2. Клейн Ф. Неевклидова геометрия. М. ; Л. : ОНТИ НКТП СССР, 1936. 356 с.

3. Розенфельд Б. А. Неевклидовы пространства. М. : Наука, 1969. 548 с.

4. Ромакина Л. Н. Геометрия гиперболической плоскости положительной кривизны : в 4-х ч. Ч. 1 : Тригонометрия. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2013. 244 с. https://www.elibrary.ru/item.asp?id=25909102

5. Ромакина Л. Н. Геометрии коевклидовой и копсевдоевклидовой плоскостей. — Саратов: ООО Изд-во «Научная книга», 2008. 279 с. https://www.elibrary.ru/item.asp?id=19457426

6. Ромакина Л. Н., Котова Н. В. Исследование замечательных кривых псевдоевклидовой плоскости в системе подготовки учителей математики // Учитель – ученик : проблемы, поиски, находки : сб. науч.-метод. тр. Саратов : ИЦ «Наука», 2010. Вып. 8. С. 61–64. https://textarchive.ru/c-1447426-p8.html

7. Ромакина Л. Н. Отношения для точек перегиба кубической кривой с узловой или изолированной точкой // Материалы XVII Междунар. конф., посв. столетию со дня рождения профессоров Б. М. Бредихина, В. И. Нечаева и С. Б. Стечкина : Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия : современные проблемы, приложения и проблемы истории, Тульский гос. пед. ун-т им. Л. Н. Толстого, 2020. С. 427–429. https://www.elibrary.ru/item.asp?id=44367989

8. Савелов А. А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения (справочное руководство). — М. : Физматгиз, 1960. 294 с.

9. Смогоржевский А. С., Столова Е. С. Справочник по теории плоских кривых третьего порядка. М. : Физматгиз, 1961. 263 с.

10. Уокер Р. Алгебраические кривые. — М. : ИИЛ, 1952. 236 с.

11. Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии // УМН, 1969. Т. 24, вып. 6(150). С. 3–184.

12. https://doi.org/10.1070/RM1969v024n06ABEH001361

13. Lawrence J. D. A Catalog of Special Plane Curves. Dover, New York, 2014.

14. Romakina L. N., Bessonov L.V., Chernyshkova A.A. Modeling of curls of Agnesi in non-Euclidean planes // AIP Conference Proceedings. American Institute of Physics. 2018. Vol 2037. P. 020022-1 – 020022-6.

15. https://doi.org/10.1063/1.5078477

16. Romakina L. N. Construction of cubic curves with a node // Beitr Algebra Geom. 2019. Vol 60, № 4. P. 761-781.

17. https://doi.org/10.1007/s13366-019-00449-8; https://rdcu.be/buOiI

18. Weisstein E. W. Maclaurin Trisectrix. MathWorld—a wolfram web resource. http://mathworld.wolfram.com/MaclaurinTrisectrix.html