Обобщенное преобразование Ганкеля на прямой

С 2012 года в гармоническом анализе на прямой со степенным весом интенсивно изучается двупараметрическое (𝑘, 𝑎)-обобщенное преобразование Фурье, предложенное S. Ben Sa¨ıd, T. Kobayashi, B. Orsted и обобщающее преобразование Данкля (𝑎 = 2), зависящее только от одного параметра 𝑘 ⩾ 0. Вместе с увеличением разнообразия унитарных преобразований наличие параметра 𝑎 > 0 при 𝑎 ̸= 2 приводит к появлению деформационных свойств, например, для функций из пространства Шварца обобщенное преобразование Фурье может не быть бесконечно дифференцируемым или быстро убывающим на бесконечности. Быстрое убывание сохраняется только для последовательности 𝑎 = 2/𝑛, 𝑛 ∈ N. Некоторая замена переменной в этом случае улучшает и другие свойства обобщенного преобразования Фурье. Обобщенное преобразование Данкля, получающееся после замены переменной при 𝑎 = 2/(2𝑟 + 1), 𝑟 ∈ Z+, лишено деформационных свойств и, в значительной степени, уже изучено. В настоящей работе изучается обобщенное преобразование Ганкеля, получающееся после замены переменной при 𝑎 = 1/𝑟, 𝑟 ∈ N. Для него описано инвариантное подпространство из быстро убывающих на бесконечности функций, найден дифференциально-разностный оператор, для которого ядро обобщенного преобразования Ганкеля является собственной функцией. На основе новой теоремы умножения
для функций Бесселя Boubatra — Negzaoui — Sifi построены два оператора обобщенного сдвига, исследована их 𝐿𝑝-ограниченность и положительность. Для теоремы умножения
дано простое доказательство. Определены две свертки, для которых доказаны теоремы Юнга. С помощью сверток определены обобщенные средние, для которых предложены
достаточные условия 𝐿𝑝-сходимости и сходимости почти всюду. Исследованы обобщенные аналоги средних Гаусса — Вейерштрасса, Пуассона и Бохнера–Рисса.

1. Ben Sa¨ıd S., Kobayashi T., Orsted B. Laguerre semigroup and Dunkl operators // Compos. Math. 2012. Vol. 148, no. 4. P. 1265–1336.

2. R¨osler M. Dunkl operators. Theory and applications: in Orthogonal Polynomials and Special Functions // Lecture Notes in Math. Springer-Verlag, 2002. Vol. 1817. P. 93–135.

3. Gorbachev D., Ivanov V., Tikhonov S. On the kernel of the (𝜅, 𝑎)-Generalized Fourier transform // Forum of Mathematics, Sigma. 2023. Vol. 11: e72 1–25. Published online by Cambridge University Press: 14 August 2023. Doi: https://doi.org/10.1017/fms.2023.69.

4. Иванов В. И. Недеформированное обобщенное преобразование Данкля на прямой // Матем. заметки. 2023. Т. 114, № 4. С. 509-–524.

5. Gorbachev D. V., Ivanov V. I., Tikhonov S.Yu. Positive 𝐿𝑝-Bounded Dunkl-Type Generalized Translation Operator and Its Applications // Constr. Approx. 2019. Vol. 49, no. 3. P. 555–605.

6. Boubatra M. A., Negzaoui S., Sifi M. A new product formula involving Bessel functions // Integral Transforms Spec. Funct. 2022. Vol. 33, no. 3. P. 247–263.

7. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Том 2. М.: Наука, 1966. 297 с.

8. Gorbachev D., Ivanov V., Tikhonov S. Uncertainty principles for eventually constant sign bandlimited functions // SIAM Journal on Mathematical Analysis. 2020. Vol. 52, no. 5. P. 4751-4782.

9. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. М.: ИЛ, 1949. 798 с.

10. Mejjaoli H. Deformed Stockwell transform and applications on the reproducing kernel theory // Int. J. Reprod. Kernels. 2022. Vol. 1, no. 1. P. 1–39.

11. Mejjaoli H., Trim`eche K. Localization Operators and Scalogram Associated with the Deformed Hankel Wavelet Transform // Mediterr. J. Math. 2023. Vol. 20, no. 3. Article 186.

12. Платонов С. С. Гармонический анализ Бесселя и приближение функций на полупрямой // Изв. РАН. Сер. матем. 2007. T. 71, № 5. C. 149–196.

13. Thangavelu S., Xu Y. Convolution operator and maximal function for Dunkl transform // J. d’Analyse. Math. 2005. Vol. 97. P. 25–55.

14. Grafacos L. Classical Fourier Analysis. Graduate Texts in Mathematics 249. New York: Springer Science+Business Media, LLC, 2008. 489 p.

15. Ben Sa¨ıd S., Negzaoui S. Norm inequalities for maximal operators // Journal of Inequalities and Applications. 2022. Article number: 134. https://doi.org/10.1186/s13660-022-02874-1.

16. Чертова Д. В. Теоремы Джексона в пространстве 𝐿2(R) со степенным весом // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2009. Вып. 3. C. 100–116.

17. Сеге Г. Ортогональные многочлены. М.: Физматгиз, 1962. 500 с.

18. Горбачев Д. В, Иванов В. И. Лекции о квадратурных формулах и их применении в экстремальных задачах. Тула: Изд-во ТулГУ, 2022. 196 с.