Области сходимости дзета-функции некоторых моноидов натуральных чисел

В работе исследуется вопрос об области абсолютной сходимости дзета-ряда для некоторых моноидов натуральных чисел. Рассмотрены два основных случая: моноиды с 𝐶 степенной 𝜃-плотностью и моноиды с 𝐶-логарифмической 𝜃-степенной плотностью. Введено новое понятие — сильная ⃗𝐶 = (𝐶1, . . . ,𝐶𝑛) степенная ⃗𝜃-плотность. Для дзета-функции последовательности натуральных чисел 𝐴 с сильной ⃗𝐶= (𝐶1, . . . ,𝐶𝑛) степенной
⃗𝜃-плотностью доказана теорема, согласно которой дзета-функция 𝜁(𝐴|𝛼) является аналитической функцией переменной 𝛼, регулярной при 𝜎 > 0, имеющая 𝑛 полюсов первого порядка, и найдены вычеты в этих полюсах.
Для случая 𝐶 логарифмической 𝜃-степенной плотности доказан принципиально другой результат: если моноид 𝑀 имеет 𝐶 логарифмическую 𝜃-степенную плотность с 0 < 𝜃 < 1, то дзета-функция моноида 𝑀 имеет область голоморфности полуплоскость 𝜎 > 0 и мнимая ось является линией особенностей.
В третьем разделе рассмотрен вопрос об аналитическом продолжении дзета-функции моноида натуральных чисел в трёх случаях: для моноида 𝑘-ых степеней натуральных чисел, для множества натуральных чисел свободных от 𝑘-ых степеней и для объединения двух моноидов 𝑘-ых степеней натуральных чисел, когда показатели степеней взаимно простые числа.
Во всех трёх случаях показано, что аналитическое продолжение существует на всю комплексную плоскость. Найдены функциональные уравнения для каждого из трёх случаев.
Они все имеют принципиально разный вид. Кроме этого, для каждого аналитического продолжения в критической полосе найдены новые свойства дзета-функции, которые отсутствуют у дзета-функции Римана.
В заключении перечислены перспективные, актуальные темы дальнейших исследований.

1. Б. М. Бредихин. Свободные числовые полугруппы со степенными плотностями // Докл. АН СССР, 118:5 (1958), 855–857.

2. И. М. Виноградов, Новая оценка функции 𝜁(1 + 𝑖𝑡) // Изв. АН СССР. Сер. матем., 22:2 (1958), 161–164.

3. М. Н. Добровольский, Н. Н. Добровольский, Н. М. Добровольский, И. Б. Кожухов, И. Ю. Реброва. Моноид произведений дзета-функций моноидов натуральных чисел // Чебышевcкий сборник. 2022. Т. 23, вып. 3, С. 102–117.

4. Н. М. Добровольский, У. М. Пачев, В. Н. Чубариков. Борис Максимович Бредихин и его научно-педагогическая деятельность // Чебышевcкий сборник, 2020, т. 21, вып. 4, С. 19–28.

5. Н. Н. Добровольский Дзета-функция моноидов натуральных чисел с однозначным разложением на простые множители // Чебышевский сб. 2017. Т. 18, вып. 4. С. 187–207.

6. Добровольский Н. Н. О моноидах натуральных чисел с однозначным разложением на простые элементы // Чебышевский сб. 2018. — Т. 19, вып. 1. — С. 79–105.

7. Добровольский Н. Н. Дзета-функция моноидов с заданной абсциссой абсолютной сходимости // Чебышевский сб. 2018. — Т. 19, вып. 2. — С. 142–150.

8. Добровольский Н. Н. Одна модельная дзета-функция моноида натуральных чисел // Чебышевcкий сборник. 2019. — Т. 20, вып. 1, С. 148–163.

9. Н. Н. Добровольский, “Об абсциссе абсолютной сходимости одного класса обобщенных произведений Эйлера”, Матем. заметки, 109:3 (2021), 464–469.

10. Н. Н. Добровольский. Распределение простых элементов в некоторых моноидах натуральных чисел // Матем. заметки (в печати).

11. Добровольский Н. Н., Добровольский М. Н., Добровольский Н. М., Балаба И. Н., Реброва И. Ю. Гипотеза о ”заградительном ряде” для дзета-функций моноидов с экспоненциальной последовательностью простых // Чебышевский сб. 2018. — Т. 19, вып. 1. — С. 106–123.

12. Н. Н. Добровольский, М. Н. Добровольский, Н. М. Добровольский, И. Н. Балаба, И. Ю. Реброва. Алгебра рядов Дирихле моноида натуральных чисел // Чебышевcкий сборник. 2019. Т. 20, вып. 1, С. 180–196.

13. Н. Н. Добровольский, Н. М. Добровольский, И. Ю. Реброва, А. В. Родионов. Моноиды натуральных чисел в теоретико-числовом методе в приближенном анализе // Чебышевcкий сборник. 2019. Т. 20, вып. 1. С. 164–179.

14. Добровольский Н. Н., Калинина А. О., Добровольский М. Н., Добровольский Н. М. О количестве простых элементов в некоторых моноидах натуральных чисел // Чебышевcкий сборник. 2018. — Т. 19, вып. 2. — С. 123–141.

15. Добровольский Н. Н., Калинина А. О., Добровольский М. Н., Добровольский Н. М. О моноиде квадратичных вычетов // Чебышевcкий сборник. 2018. — Т. 19, вып. 3. — С. 95–108.

16. Dobrovolskaya L. P., Dobrovolsky M. N., Dobrovol’skii N. M., Dobrovolsky N. N., 2014, "On Hyperbolic Zeta Function of Lattices" , In: Continuous and Distributed Systems. Solid Mechanics and Its Applications, Vol. 211. pp. 23–62. DOI:10.1007/978-3-319-03146-0_2.

17. Н. Н. Добровольский, И. Ю. Реброва, Н. М. Добровольский. Обратная задача для моноида с экспоненциальной последовательностью простых // Чебышевcкий сборник, 2020, Т. 21, вып. 1, С. 165–185.

18. Н. Н. Добровольский, И. Ю. Реброва, Н. М. Добровольский. Обратная задача для основного моноида типа 𝑞// Чебышевcкий сборник, 2022, Т. 23, вып. 4, С. 59–71.

19. Н. Н. Добровольский, И. Ю. Реброва, Н. М. Добровольский. Энтропия для некоторых моноидов натуральных чисел // Чебышевcкий сборник, 2022, Т. 23, вып. 5, С. 57–71

20. Н. М. Коробов, Оценки сумм Вейля и распределение простых чисел // Докл. АН СССР, 123:1 (1958), 28–31.