Об исключительном множестве одной системы линейных уравнений с простыми числами

Аннотация

Пусть 𝑋− достаточно большое действительное число, 𝑏1, 𝑏2- целые числа с условием 1 ⩽ 𝑏1, 𝑏2 ⩽ 𝑋, 𝑎𝑖𝑗 , (𝑖 = 1, 2; 𝑗 = 1, 4)− целые положительные числа, 𝑝1, . . . , 𝑝4− простые числа. Положим 𝐵 = max {3 |𝑎𝑖𝑗|} , (𝑖 = 1, 2; 𝑗 = 1, 4), ¯𝑏= (𝑏1, 𝑏2), 𝐾 = 9√2𝐵3
⃒ ⃒¯𝑏⃒⃒,𝐸2,4(𝑋) ={︀𝑏𝑖⃒⃒ 1 ≤ 𝑏𝑖 ≤ 𝑋, 𝑏𝑖 ̸= 𝑎𝑖1𝑝1 + · · · + 𝑎𝑖4𝑝4, 𝑖 = 1, 2}︀. В работе изучено разрешимость системы 𝑏𝑖 = 𝑎𝑖1𝑝1 + · · · + 𝑎𝑖4𝑝4, (𝑖 = 1, 2), в простых числах 𝑝1, . . . , 𝑝4 и впервые получена степенная оценка для исключительного множества 𝐸2,4(𝑋) и оценка снизу для 𝑅(¯ 𝑏)− количество решений рассматриваемый системы в простых числах, а именно доказано, что если 𝑋 - достаточно большое, а 𝛿(0 < 𝛿 < 1) достаточно малое действительные числа, тогда: существует достаточно большое число 𝐴, такое, что при 𝑋 > 𝐵𝐴 справедлива оценка 𝐸2,4(𝑋) < 𝑋2−𝛿 и для 𝑅(¯𝑏) при заданном ¯𝑏= (𝑏1, 𝑏2), 1 ⩽ 𝑏1, 𝑏2 ⩽ 𝑋 справедлива
оценка 𝑅(¯ 𝑏) ⩾ 𝐾2−𝛿(ln𝐾)−4, для всех ¯𝑏= (𝑏1, 𝑏2) за исключением не более чем 𝑋2−𝛿 пар из них.