Нелинейный метод угловых пограничных функций в задачах с кубическими нелинейностями

Аннотация

В прямоугольнике Ω = {(𝑥, 𝑡) | 0 < 𝑥 < 1, 0 < 𝑡 < 𝑇} рассматривается начально-краевая задача для сингулярно возмущенного параболического уравнения 

$$𝜀2(︂𝑎^2((𝜕^2)𝑢/𝜕𝑥^2)−𝜕𝑢/𝜕𝑡)︂= 𝐹(𝑢, 𝑥, 𝑡, 𝜀), (𝑥, 𝑡) ∈ Ω,
𝑢(𝑥, 0, 𝜀) = 𝜙(𝑥), 0 ⩽ 𝑥 ⩽ 1,
𝑢(0, 𝑡, 𝜀) = 𝜓1(𝑡), 𝑢(1, 𝑡, 𝜀) = 𝜓2(𝑡), 0 ⩽ 𝑡 ⩽ 𝑇.$$

Предполагается, что в угловых точках прямоугольника функция 𝐹 относительно переменной 𝑢 является кубической. Для построения асимптотики решения задачи используется нелинейный метод угловых пограничных функций, который предполагает выполнение следующих шагов:
1) разбиение области на части;
2) построение в каждой подобласти нижних и верхних решений задачи;
3) непрерывная стыковка нижних и верхних решений на общих границах подобластей;
4) последующее сглаживание кусочно-непрерывных нижних и верхних решений.
В настоящей работе удалось построить барьерные функции, пригодные сразу во всей области. Вид барьерных функций определяются с помощью погранслойных функций, являющихся решениями обыкновенных дифференциальных уравнений, а также с учетом необходимых свойств искомых решений. В результате построено полное асимптотическое разложение решения при 𝜀 → 0 и обоснована его равномерность в замкнутом прямоугольнике.