Приведение гладких функций к нормальным формам вблизи критических точек
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2022-23-5-101-116
Аннотация
Работа посвящена «равномерному» приведению гладких функций на двумерных многообразиях к каноническому виду вблизи критических точек этих функций. Функция 𝑓(𝑥, 𝑦) имеет особенность типа 𝐴𝑘, 𝐸6 или 𝐸8 в своей критической точке, если в некоторых локальных координатах с центром в этой точке ряд Тейлора функции имеет вид 𝑥2+𝑦𝑘+1+𝑅2,𝑘+1, 𝑥3+𝑦4+𝑅3,4, 𝑥3+𝑦5+𝑅3,5 соответственно, где через 𝑅𝑚,𝑛 обозначена сумма мономов более высокого порядка, т.е. 𝑅𝑚,𝑛 =Σ︀𝑎𝑖𝑗𝑥𝑖𝑦𝑗 , где 𝑖/𝑚 + 𝑗/𝑛 > 1. Согласно результату В.И. Арнольда (1972), эти особенности просты и гладкой заменой переменных приводятся к каноническому виду, в котором член 𝑅𝑚,𝑛 равен нулю.
Для особенностей типов 𝐴𝑘, 𝐸6 и 𝐸8 мы явно строим такую замену и оцениваем снизу (через 𝐶𝑟-норму функции, где 𝑟 = 𝑘 + 3, 7 и 8 соответственно) максимальный радиус окрестности, в которой определена замена. Наша замена является «равномерным» приведением к каноническому виду в том смысле, что построенные нами окрестность и замена координат в ней (а также все частные производные замены координат) непрерывно зависят
от функции 𝑓 и ее частных производных.
Ключевые слова
правая эквивалентность гладких функций,
ADE-особенности,
нор- мальные формы особенностей,
равномерное приведение к нормальным формам.
При поддержке: Автор является стипендиатом фонда развития теоретической физики и математики “БАЗИС”, договор № 21-8-9-9-1.
Об авторе
Александра Степановна Оревкова
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова; Московский Центр фундаментальной и прикладной математики
Россия
Россия
Список литературы
1. Арнольд В. И. Нормальные формы функций вблизи вырожденных критических точек,
2. группы Вейля 𝐴𝑘,𝐷𝑘,𝐸𝑘 и лагранжевы особенности // Функц. анализ и его прил. 1972.
3. Т. 6, № 4. С. 3–25. Engl. version: Arnol’d V. I. Normal forms for functions near degenerate
4. critical points, theWeyl groups of 𝐴𝑘,𝐷𝑘,𝐸𝑘 and Lagrangian singularities // Funct. Anal. Appl.
5. Vol. 6, № 4. P. 254–272.
6. Brodersen H. M-t topologically stable mappings are uniformly stable // Math. Scand. 1983.
7. Vol. 52. P. 61–68.
8. Kudryavtseva E. A., Lakshtanov E. L. Classification of singularities and bifurcations of critical
9. points of even functions // In: Topological Methods in the Theory of Integrable Systems. Eds.
10. Bolsinov, A.V., Fomenko, A.T., and Oshemkov, A.A.; Cambridge Scientific Publishers, Springer.
11. P. 173–214. http://arxiv.org/abs/1212.4302.
12. Кудрявцева Е. А. Равномерная лемма Морса и критерий изотопности функций Морса
13. на поверхностях // Вестн. Моск. ун-та. Сер. I Матем. Мех. 2009. № 4, С. 13-22 Engl.
14. version: Kudryavtseva E. A. Uniform Morse lemma and isotope Morse functions on surfaces //
15. Moscow Univ. Math. Bull. 2009. Vol. 64, no. 4. P. 150–158.
16. Кудрявцева Е. А., Пермяков Д. А. Оснащенные функции Морса на поверхностях // Матем.
17. Сб. 2010. Т. 201, № 4. С. 501-567. Engl. version: Kudryavtseva E. A., Permyakov D. A. Framed
18. Morse functions on surfaces // Sbornik Math. 2010. Vol. 201, no. 4. P. 501–567.
19. Кудрявцева Е. А. Топология пространств функций Морса на поверхностях // Матем. За-
20. метки. 2012. Т. 92, № 2. С. 241-261. Engl. version: Kudryavtseva E. A. The Topology of
21. Spaces of Morse Functions on Surfaces // Math. Notes. 2012. Vol. 92, no. 2. P. 219–236.
22. http://arxiv.org/abs/1104.4792.
23. Кудрявцева Е. А. Специальные оснащенные функции Морса на поверхностях // Вестн.
24. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2012. № 4, С. 14–20. Engl. version: Kudryavtseva E. A. Special
25. framed Morse functions on surfaces // Moscow Univ. Math. Bull. 2012. Vol. 67, no. 4. P. 151–
26. http://arxiv.org/abs/1106.3116.
27. Кудрявцева Е.А. О гомотопическом типе пространств функций Морса на поверхностях //
28. Матем. сб. 2013. Т. 204, № 1. С. 79-118 Engl. version: Kudryavtseva E. A. On the homotopy
29. type of spaces of Morse functions on surfaces // Sb. Math. 2013. Vol. 204, no. 1. P. 75–113.
30. http://arxiv.org/abs/1104.4796.
31. Кудрявцева Е. А. Топология пространств функций с заданными особенностями на поверх-
32. ностях // Докл. Акад. Наук 2016. Т. 468, № 1. С. 139-142. Engl. version: Kudryavtseva E. A.
33. Topology of the spaces of functions with prescribed singularities on surfaces // Doklady Math.
34. Vol. 93, no. 3. P. 264–266.
35. Kudryavtseva E. A. Topology of the spaces of functions and gradient-like flows with prescribed
36. singularities on surfaces // Arxiv. 2021. http://arxiv.org/abs/2106.03017.
37. Mather J. N. Infinitesimal stability implies stability // Ann. of Math. 1969. Vol. 89. P. 254–291.
38. Самойленко А. М. Об эквивалентности гладкой функции полиному Тейлора в окрестности
39. критической точки конечного типа // Функц. анализ, 1968. Т. 2, № 4. С. 63-69. Engl.
40. version: Samoilenko A. M. The equivalence of a smooth function to a Taylor polynomial in the
41. neighborhood of a finite-type critical point // Funct. Anal. Appl. 1968. Vol. 2, no. 4. P. 318–323.
42. Sergeraert F. Un th´eor`eme de fonctions implicites sur certains espaces de Fr´echet et quelques
43. applications // Annales scientifiques de l’´E.N.S. 4e s´erie. 1972. Vol. 5, no. 4. P. 599–660.
44. Tougeron J. C. Ideaux de fonctions differentiables. I // Ann. Inst. Fourier. 1968. Vol. 18, no. 1.
45. P. 177–240.
Рецензия
Для цитирования:
Оревкова А.С. Приведение гладких функций к нормальным формам вблизи критических точек. Чебышевский сборник. 2022;23(5):101-116. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2022-23-5-101-116
For citation:
Orevkova A.S. Reducing smooth functions to normal forms near critical points. Chebyshevskii Sbornik. 2022;23(5):101-116. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2022-23-5-101-116
Просмотров:
300
Послать статью по эл. почте 