Работа посвящена «равномерному» приведению гладких функций на двумерных многообразиях к каноническому виду вблизи критических точек этих функций. Функция 𝑓(𝑥, 𝑦) имеет особенность типа 𝐴𝑘, 𝐸6 или 𝐸8 в своей критической точке, если в некоторых локальных координатах с центром в этой точке ряд Тейлора функции имеет вид 𝑥2+𝑦𝑘+1+𝑅2,𝑘+1, 𝑥3+𝑦4+𝑅3,4, 𝑥3+𝑦5+𝑅3,5 соответственно, где через 𝑅𝑚,𝑛 обозначена сумма мономов более высокого порядка, т.е. 𝑅𝑚,𝑛 =Σ︀𝑎𝑖𝑗𝑥𝑖𝑦𝑗 , где 𝑖/𝑚 + 𝑗/𝑛 > 1. Согласно результату В.И. Арнольда (1972), эти особенности просты и гладкой заменой переменных приводятся к каноническому виду, в котором член 𝑅𝑚,𝑛 равен нулю.Для особенностей типов 𝐴𝑘, 𝐸6 и 𝐸8 мы явно строим такую замену и оцениваем снизу (через 𝐶𝑟-норму функции, где 𝑟 = 𝑘 + 3, 7 и 8 соответственно) максимальный радиус окрестности, в которой определена замена. Наша замена является «равномерным» приведением к каноническому виду в том смысле, что построенные нами окрестность и замена координат в ней (а также все частные производные замены координат) непрерывно зависятот функции 𝑓 и ее частных производных.
The paper is devoted to “uniform” reduction of smooth functions on 2-manifolds to canonical form near critical points of the functions by some coordinate changes in some neighborhoods of these points. A function 𝑓(𝑥, 𝑦) has a singularity of the type 𝐴𝑘, 𝐸6, or 𝐸8 at its critical point if, in some local coordinate system centered at this point, the Taylor series of the function has the form 𝑥2 +𝑦𝑘+1 +𝑅2,𝑘+1, 𝑥3 +𝑦4 +𝑅3,4, 𝑥3 +𝑦5 +𝑅3,5 respectively, where 𝑅𝑚,𝑛 stands for a sum of higher order terms, i.e., 𝑅𝑚,𝑛 = Σ︀𝑎𝑖𝑗𝑥𝑖𝑦𝑗 where 𝑖/𝑚 + 𝑗/𝑛 > 1. In according to a result by V. I. Arnold (1972), these singularities are simple and can be reduced to the canonical form with 𝑅𝑚,𝑛 = 0 by a smooth coordinate change.For the singularity types 𝐴𝑘, 𝐸6, and 𝐸8, we explicitly construct such a coordinate change and estimate from below (in terms of 𝐶𝑟-norm of the function, where 𝑟 = 𝑘 + 3, 7, and 8 respectively) the maximal radius of a neighborhood in which the coordinate change is defined.Our coordinate change provides a “uniform” reduction to the canonical form in the sense that the radius of the neighborhood and the coordinate change we constructed in it (as well as all partial derivatives of the coordinate change) continuously depend on the function 𝑓 and its partial derivatives.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.