МЕТОД МНОГОЗНАЧНЫХ ПОЛУГРУПП ОПЕРАТОРОВ В ИССЛЕДОВАНИИ ДОЛГОСРОЧНЫХ ПРОГНОЗОВ УПРАВЛЯЕМЫХ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ

В работе исследуется эволюционное включение гиперболического типа с линейным демпфированием, которое описывает класс управляемых пьезоэлектрических полей с немонотонным потенциалом. Разрывная по фазовой переменной функция взаимодействия может быть представлена в виде разности субдифференциалов выпуклых функционалов. Такая система моделирует широкий класс управляемых процессов механики сплошных сред, в частности, и управляемые пьезоэлектрические процессы с многозначным законом "реакции-перемещения". Представление закона "реакции-перемещения" в виде разности суб- дифференциалов выпуклых функционалов позволяет более гибко управ- лять пьезоэлектрической системой. В таких процессах ключевую роль играют свойства представленных в модели операторов. Поэтому в процессе исследования мы накладываем на параметры задачи такие условия, которые позволяют изучаемой модели с допустимой точностью описывать реальный физический процесс и, в то же время, дают возможность использовать для нее существующий математический аппарат. В работе, используя методы теории глобальных и траекторных аттракторов для многозначных полугрупп операторов, обосновывается конечномерность с точностью до малого параметра слабых решений рассматриваемой модели. Кроме того, полученные результаты применяются к конкретной пьезоэлектрической задаче.

многозначная полугруппа операторов, управляемые пьезоэлектрические поля, включение гиперболического типа, немонотонный потенциал

1. Liu Z., Mig´orski S. Noncoercive Damping in Dynamic Hemivariational Inequality with Application to Problem of Piezoelectricity // Discrete and Continuous Dynamical Systems Series B. 2008. Vol.9, Iss.1. P. 129–143

2. Gorban N. V., Kapustyan V. O., Kasyanov P. O., Paliichuk L. S. On Global Attractors for Autonomous Damped Wave Equation with Discontinuous Nonlinearity // Continuous and Distributed Systems: Theory and Applications. / V. A. Sadovnichiy, M. Z. Zgurovsky (Eds.). Springer-Verlag. 2013. P. 221–237.

3. Zgurovsky M. Z., Kasyanov P. O., Paliichuk L. S. Automatic feedback control for one class of contact piezoelectric problems // System Analysis and Information Technologies. 2014. Iss. 1. P. 56–68.

4. Kasyanov P. O., Paliichuk L. S. Trajectory behavior of weak solutions of the piezoelectric problem with discontinuous interaction function on the phase variable. // Research Bulletin of NTUU "KPI". 2014. Vol. 2.

5. Clarke F. H. Optimization and Nonsmooth Analysis. Wiley, Interscience: New York, 1983. 308 p.

6. Zgurovsky M. Z., Kasyanov P. O., Zadoianchuk N. V. Long-time behavior of solutions for quasilinear hyperbolic hemivariational inequalities with application to piezoelectricity problem // Applied Mathematics Letters . 2012. Vol.25. P. 1569–1574.

7. Zgurovsky M. Z., Kasyanov P. O., Kapustyan O. V., Valero J., Zadoianchuk N.V. Evolution Inclusions and Variation Inequalities for Earth Data Processing III. Springer-Verlag: Berlin, 2012. 330 p.

8. Kalita P., Lukaszewicz G. Global attractors for multivalued semiflows with weak continuity properties // Nonlinear Analysis. 2014. Vol. 101. P. 124–143. bibitem3 Ball J. M. Global attaractors for damped semilinear wave equations // DCDS. 2004. Vol. 10. P. 31–52.

9. Vishik M., Chepyzhov V. Trajectory and Global Attractors of Three-Dimensional Navier-Stokes Systems // Mathematical Notes. 2002. Vol. 71, Iss. 1-2. P. 177–193.

10. Ball J. M. Continuity properties and global attractors of generalized semiflows and the Navier-Stokes equations // Journal of Nonlinear Sciences. 1997. Vol. 7, Iss. 5. P. 475–502.

11. Temam R. Infinite-Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics. Springer-Verlag: New York, 1988. 500 p.

12. Melnik V. S., Valero J. On attractors of multivalued semi-flows and differential inclusions // Set-Valued Analysis. 1998. Vol. 6, Iss. 1. P. 83–111.

13. Касьянов П. О., Задоянчук Н. В. Динамика решений класса автономных эволюционных включений второго порядка // Кибернетика и системный анализ. 2012. № 3. С. 111–126.

14. Kasyanov P. O. Multivalued dynamics of solutions of autonomous operator differential equations with pseudomonotone nonlinearity // Mathematical Notes. 2012. Vol. 92, Iss. 1-2. P. 205–218.

15. Касьянов П. О., Задоянчук Н. В. Свойства решений эволюционных включений второго порядка с отображениями псевдомонотонного типа // Журнал вычислительной и прикладной математики. 2010. №3(102). С. 63–78