О теореме Пуанкаре — Биркгофа как важнейшем результате теории динамических систем
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2022-23-1-209-222
Аннотация
Целью работы является изучение истории теоремы Пуанкаре — Биркгофа, которая является не только одним из результатов, лежащих в основе теории динамических систем, но имеет важное значение для приложений. До настоящего времени теорема Пуанкаре — Биркгофа рассматривалась в историческом плане лишь фрагментарно и не являлась предметом последовательного исторического исследования. Исследование основано на анализе оригинальных работ, историко-научной литературы с привлечением воспоминаний участников описываемых событий. Идея Пуанкаре заключалась в установлении периодических движений динамических систем с помощью предложенной им геометрической теоремы.
Периодические движения, в свою очередь, должны были послужить основой для изучения других, сложных движений. Поиски доказательства явились мощным импульсом для Биркгофа в построении теории динамических систем, который вместе с Пуанкаре является основателем этой области математики. Теорема Пуанкаре — Биркгофа имеет ключевое значение в понимании механизма возникновения хаотического движения в гамильтоновых системах. История теоремы Пуанкаре — Биркгофа не закончена, она играет значительную роль в современной теории динамических систем и ее приложениях. Продолжаются поиски доказательства многомерного аналога теоремы, ее различных обобщений и дальнейших приложений.
Об авторе
Равиль Рафкатович Мухин
Старооскольский технологический институт им. А. А. Угарова; филиал Национального исследовательского технологического университета «МИСиС»
Россия
Россия
доктор физико-математических наук
Список литературы
1. Пуанкаре A. Новые методы небесной механики // А. Пуанкаре. Избранные труды. М.: Наука. Т. I . 1971. 772 с.; Т. II. 1972. 998 с.
2. Ньютон И. Математические начала натуральной философии. М.: Наука, 1989. 690 с.
3. Идельсон Н.И. Закон всемирного тяготения и теория движения Луны // Н.И. Идельсон. Этюды по истории небесной механики. М.: Наука, 1975. С. 205–272.
4. Poincar´e H. Memoire sur les courbes d´efinies par une ´equation differentielle // J. math. pures et appl. S´er. 3. 1881. V. 7. pp. 375–422; 1882. V. 8. pp. 251–296; S´er. 4. 1885. V. 1. pp. 167–244; 1886. V. 2. pp. 151–217 / Рус. пер.: Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.: ГИТТЛ, 1947. 392 с.
5. Субботин М.Ф. Астрономические работы Леонарда Эйлера // Леонард Эйлер. Сб. в честь 250-летия со дня рождения. М.: Изд-во АН СССР, 1958. С. 268–376.
6. Lagrange J.L. Essai sur le Probl`eme des trois Corps // Oeuvres de Lagrange. T. VI. Paris, 1873. pp. 229–234.
7. Hill G.W. Researches in the Lunar Theory // Am. J. Math. 1878. V. 1. pp. 5–2, 129–147, 245–260.
8. Poincar´e H. Sur certaines solutions particuli´eres du probl`eme des trois corps // Comp. Rend. 1883. T. 97. pp. 251–252.
9. Poincar´e H. Sur certaines solutions particuli´eres du probl`eme des trois corps // Bull. astronom. 1884. T. 1. pp.. 65–74.
10. Poincar´e H. Sur le probl`eme des trois corps et les ´equations de la Dynamique // Acta Math. 1890. V. 13. pp. 1–270.
11. Маршал К. Задача трех тел. Москва-Ижевск: Инст. компьют. исслед., 2004. 640 с.
12. Poincar´e H. Sur les solutions p´eriodiques et le principle de moindre action // Comp. Rend. 1896. T. 123. pp. 915–918.
13. Шенсине А. Об одной заметке Пуанкаре // Нелин. динамика. 2005. Т. 1. № 1. С. 143–154.
14. Hadamard J. Les surfaces `a courbures oppose´es et leurs lignes g´eod´esiques // J. Math. pures et appl. 1898. V. 4. pp. 27–73.
15. Poincar´e H. Sur les lignes g´eod´esiques des surfaces convexes // Trans. AMS. 1905. V. 6. pp. 237–274. / Рус пер.: А.Пуанкаре. Избр. труды: Т. 2. -М.: Наука, 1972. С. 735–774.
16. Пуанкаре А. Наука и метод // А. Пуанкаре. О науке. М.: Наука, 1983. С. 284–403.
17. Poincar´e H. Sur un th´eor`eme de g´eometrie // Rendicont. Circolo mat. Palermo. 1912. V. 33. pp. 375–407. / Рус. пер.: Об одной геометрической теореме / Последние работы А. Пуанкаре. Ижевск: РХД, 2001. С. 112–150.
18. Birkhoff G.D. Dynamical Systems. Providence, Rhod Island: AMS, 1927. IX + 295 p. / Рус. пер.: Дж. Биркгоф Динамические системы / Пер. с англ. Ижевск: РХД, 1999. 408 с.
19. Birkhoff G.D. Proof of Poincare’s geometric theorem // Trans. AMS. 1913. V.14. pp. 14–22.
20. Veblen O. George David Berkhoff // Biograph. Memoirs. The National Academy Press, 2001. V. 80. pp. 2–14.
21. Birkhoff G.D. An extension of Poincare’s last geometric theorem // Acta. Math. 1926. V. 47. pp. 297–311.
22. Brown M., Neumann W.D. Proof of Poincare-Birkhoff fixed point theorem // Michigan Math. J. 1977. V. 24. pp. 21–31.
23. Кириллов А.Н. Последняя геометрическая теорема Пуанкаре: история и драма идей / Семинар по истории математики. 7 сентября 2017 г. СПб., ПОМИ, Фонтанка 27.
24. Hurvitz W.A. The Chicago Colloquium // Bull. AMS. 1920. V. 27. pp. 65–71.
25. Birkhoff G.D. On the periodic motions of dynamical systems // Acta Math. 1927. V. 50. pp. 359–379.
26. Birkhoff G.D. A remark on the dynamical rule of Poincare’s last geometric theorem // Acta litt. аc Scientiarum, sect Sciantiarum math. Szeged, 15 Aug. 1928. V. 4. pp. 6–11.
27. Birkhoff G.D., Smith P. Structure Analysis of Surface Transformations // J. Math. Pures Appl. 1928. V. 9. pp. 345–379.
28. Birkhoff G.D. Nouvelles recherches sur les syst`ems dynamiques // Mem. Pont. Acad. Sci. Novi Lyncaei. 1935. Р. 3. V.1. pp. 85–216.
29. Заславский Г.М., Чириков Б.В. Стохастическая неустойчивость нелинейных колебаний // Успехи физ. наук. 1971. Т.105. В. 1. С. 3–39.
30. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. М.: Мир, 1984. 528 с.
31. Арнольд В.И. Об устойчивости положений равновесия гамильтоновой системы обыкновенных дифференциальных уравнений в общем эллиптическом случае // ДАН СССР. 1961. Т. 137. № 2. С. 255–257.
32. Лоскутов А.Ю. Динамический хаос. Системы классической механики // Успехи физ. наук. 2007. Т. 177. № 9. С. 989–1015.
33. Arnold V.I., Avez A. Ergodic problems of classical mechanics. Princeton, N.J.: Princeton Univ. Press, 1968. 286 p.
34. Заславский Г.М. Физика хаоса в гамильтоновых системах. Москва-Ижевск: Инст. компьют. исслед., 2004. 288 с.
35. Арнольд В.И. Первые шаги симплектической топологии // УМН. 1986. Т. 41. В. 6. С. 3–18.
36. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1989. 472 с.
37. Арнольд В.И. Недооцененный Пуанкаре // УМН. 2006. Т. 61. В. 1. С. 3–24.
38. Cohnley C.C., Zehnder E. The Birkhoff-Lewis fixed point theorem and a conjecture of V.I. Arnold // Invent. Math. 1983. V. 73. pp. 33–49.
Рецензия
При поддержке: Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 20-011-00402 А)
Для цитирования:
Мухин Р.Р. О теореме Пуанкаре — Биркгофа как важнейшем результате теории динамических систем. Чебышевский сборник. 2022;23(1):209-222. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2022-23-1-209-222
For citation:
Mukhin R.R. On the Poincar´e-Birkhoff theorem as the important result of the theory of dynamical systems. Chebyshevskii Sbornik. 2022;23(1):209-222. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2022-23-1-209-222
Просмотров: 167
Послать статью по эл. почте 