Среднеквадратическое приближение некоторых классов функций комплексного переменного рядами Фурье в весовом пространстве Бергмана 𝐵_2,𝛾

Аннотация

В статье рассматриваются экстремальные задачи среднеквадратического приближения функций комплексного переменного, регулярных в области D ⊂ C, рядами Фурье по ортогональной в D системе функций {𝜙_𝑘(𝑧)}∞𝑘=0, принадлежащих весовому пространству Бергмана 𝐵2,𝛾 с конечной нормой

$$‖𝑓‖2,𝛾 := ‖𝑓‖𝐵2,𝛾 =(1/2𝜋∫︁∫︁(D) 𝛾(|𝑧|)|𝑓(𝑧)|^2 𝑑𝜎)^(1/2),$$

где 𝛾 := 𝛾(|𝑧|) ≥ 0 – вещественная интегрируемая в области D функция, а интеграл понимается в смысле Лебега, 𝑑𝜎 := 𝑑𝑥𝑑𝑦 – элемент площади.
Более подробно исследуется сформулированная задача в случае, когда D – единичный круг в пространстве 𝐵_2,𝛾𝛼,𝛽 , 𝛾_𝛼,𝛽 = |𝑧|^𝛼(1 − |𝑧|)^𝛽 𝛼, 𝛽 > −1 – вес Якоби. В этом случае доказаны точные неравенства типа Джексона-Стечкина, связывающие величину наилучшего среднеквадратичного полиномиального приближения 𝑓 ∈ ℬ^(𝑟)_2,𝛾𝛼,𝛽 и K -функционала Петре. В случае 𝛾_𝛼,𝛽 ≡ 1 получаем ранее известные результаты.