Бесконечная линейная независимость с ограничениями на подмножество простых чисел значений рядов эйлерова типа с полиадическим лиувиллевым параметром

Аннотация

Кольцом целых полиадических чисел называется прямое произведение колец целых 𝑝-адических чисел по всем простым числам 𝑝. Элементы 𝜃 этого кольца, таким образом, можно рассматривать как бесконечномерные векторы, координаты которых в соответствующем кольце целых 𝑝-адических чисел обозначаем 𝜃^(𝑝). Бесконечная линейная независимость полиадических чисел 𝜃_1, . . . , 𝜃_𝑚 означает, что для любой ненулевой линейной формы ℎ_1𝑥_1+. . .+ℎ_𝑚*𝑥_𝑚 с целыми коэффициентами ℎ_1, . . . , ℎ_𝑚 существует бесконечное множество простых чисел 𝑝 таких, что в поле Q𝑝 выполняется неравенство

$$ℎ_1𝜃_1^(𝑝) + . . . + ℎ_𝑚𝜃_m^(𝑝) ̸= 0.$$

Вместе с тем, представляют интерес задачи, в которых рассматриваются простые числа
только из некоторых собственных подмножеств множества простых чисел. Будем говорить
в таком случае о бесконечной линейной независимости с ограничениями на указанное множество.
Каноническое представление элемента 𝜃 кольца целых полиадических чисел имеет вид ряда

$$𝜃 =∞Σ︁𝑛=0𝑎_𝑛*𝑛!, 𝑎_𝑛 ∈ Z, 0 ≤ 𝑎_𝑛 ≤ 𝑛.$$

Разумеется, ряд, члены которого — целые числа, сходящийся во всех полях 𝑝-адических чисел, представляет собой целое полиадическое число. Будем называть полиадическое число 𝜃 полиадическим числом Лиувилля( или лиувиллевым полиадическим числом), если для любых чисел 𝑛 и 𝑃 существует натуральное число 𝐴 такое, что для всех простых чисел 𝑝 , удовлетворяющих неравенству 𝑝 ≤ 𝑃 ,выполнено неравенство

$$|𝜃 − 𝐴|_𝑝 < 𝐴^(−𝑛).$$

Здесь будет доказана бесконечная линейная независимость полиадических чисел

$$𝑓_0(1) =∞Σ︁𝑛=0(𝜆)_𝑛, 𝑓_1(1) =∞Σ︁𝑛=0(𝜆 + 1)_𝑛.$$

с ограничениями на множество простых чисел в совокупности арифметических прогрессий.
Важным аппаратом получения этого результата являются построенные в работе Ю.В. Нестеренко [4] аппроксимации Эрмита–Паде обобщенных гипергеометрических функций.
Использован подход из работы Эрнвалл-Хитонен, Матала-Ахо, Сеппела [5].