Обобщённая проблема Дирихле для двумерной решётки приближений Дирихле

В работе изучается связь проблемы определения количества точек двумерной решётки приближений Дирихле в гиперболическом кресте и интегрального представления гиперболической дзета-функции двумерной решётки приближений Дирихле. Введено понятие компоненты гиперболической дзета-функции двумерной решётки приближений Дирихле.
Найдено представление для первой компоненты гиперболической дзета-функции двумерной решётки приближений Дирихле через дзета-функцию Римана. Относительно первой компоненты установлен парадоксальный факт, что она непрерывна для любого иррационального 𝛽 и разрывна во всех рациональных точках 𝛽. Это относится к зависимости только от параметра 𝛽.
Для второй компоненты гиперболической дзета-функции двумерной решётки приближений Дирихле в случае рационального значения 𝛽 = 𝑎
𝑏 получена асимптотическая формула для количества точек второй компоненты двумерной решётки приближений Дирихле в гиперболическом кресте. Полученная формула даёт интегральное представление в полу-
плоскости 𝜎 > 1/2 .
Основным инструментом исследований была формула суммирования Эйлера. Для целей работы необходимо было получить явные выражения остаточных членов в асимптотических формулах для числа точек классов вычетов двумерной решётки приближений Дирихле по растянутой фундаментальной решётке 𝑏Z×Z.
И теорема 1, и теорема 2, доказанные в работе, показывают наличие зависимости второго члена асимптотической формулы и вычета гиперболической дзета-функции решётки Λ(︀ 𝑎/𝑏)︀ от величины знаменателя 𝑏 и независимости от числителя 𝑎. Ранее аналогичные эффекты были обнаружены А. Л. Рощеней для других обобщений проблемы Дирихле.
В работе поставлена задача об уточнении порядка остаточного члена в асимптотических формулах с помощью изучения величин
$$𝑅*1(𝑇, 𝑏, 𝛿) =(√𝑇)/bΣ︁𝑞=1{︂𝑇/𝑏𝑞− 𝛿}︂−(√𝑇)/2𝑏, 𝑅*2(𝑇, 𝑏, 𝛿) =√𝑇−𝛿Σ︁𝑝=1{︂𝑇/(𝑏𝑝 + 𝑏𝛿)}︂−(√𝑇)/2.$$
Предлагается сначала изучить возможности элементарного метода И. М. Виноградова, а потом получить наиболее точные оценки с помощью метода тригонометрических сумм.
В работе намечены направления дальнейших исследований по данной тематике.

1. И. М. Виноградовъ, “Новый способъ для полученiя асимптотическихъ выраженiй арифметическихъ функцiй”, Известiя Академiи Наукъ, 11:16 (1917), 1347–1378.

2. И. М. Виноградов. Основы теории чисел. — М.-Л., Гостехиздат, 1952. 180 с.

3. А. О. Гельфонд. Исчисление конечных разностей — М., 1967г., 378 с.

4. А. О. Гельфонд, Ю. В. Линник. Элементарные методы в аналитической терии чисел — М., Физматгиз, 1962г., 272 с.

5. Л. П. Добровольская, М. Н. Добровольский, Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский Гиперболические дзета-функции сеток и решёток и вычисление оптимальных коэффициентов // Чебышевский сборник 2012. Т. 13, вып. 4(44). С. 4–107.

6. Добровольский М. Н. Ряды Дирихле с периодическими коэффициентами и функциональное уравнение для гиперболической дзета-функции целочисленных решёток. // Чебышевский сборник 2006. Т. 3, вып. 2(4). С. 43–59.

7. Добровольский М. Н. Функциональное уравнение для гиперболической дзета-функции целочисленных решёток. // ДАН. Т. 412, № 3, Январь 2007. С. 302–304.

8. Добровольский М. Н. Функциональное уравнение для гиперболической дзета-функции целочисленных решёток // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2007. № 3. С. 18–23.

9. М. Н. Добровольский, Н. Н. Добровольский, Н. М. Добровольский. Об одном функциональном уравнении // Чебышевcкий сборник. 2021. Т. 22, вып. 5, С. 359–364.

10. Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский, В. Н. Соболева, Д. К. Соболев, Л. П. Добровольская, О. Е. Бочарова О гиперболической дзета-функции Гурвица // Чебышевский сб., 2016. Т. 17, вып. 3. С. 72–105.

11. Н. М. Добровольский, А. Л. Рощеня. О непрерывности гиперболической дзета-функции решёток // Известия Тульского государственного университета. — Тула, 1996. Т. 2, вып. 1. С. 77–87.

12. Н. М. Добровольский, А. Л. Рощеня. Об аналитическом продолжении гиперболической дзета-функции рациональных решёток // Тезисы докладов III международной конференции "Современные проблемы теории чисел и её приложения" . — Тула. 1996. С. 49.

13. Н. М. Добровольский, А. Л. Рощеня. О числе точек решетки в гиперболическом кресте // Матем. заметки, 1998. Т. 63, вып. 3. С. 363–369.

14. Н. М. Добровольский, А. Л. Рощеня, И. Ю. Реброва. Непрерывность гиперболической дзета-функции решеток // Матем. заметки, 1998. Т. 63, вып. 4, С. 522–526.

15. Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. — М., 1983 г.

16. Рощеня А. Л. Обобщение теоремы Дирихле о числе точек целочисленной решётки в гиперболическом кресте // Современные проблемы теории чисел и ее приложения": Тез. докл. III Междунар. конф. Тула, 1996. С. 120.

17. Рощеня А. Л. Обобщение теоремы Дирихле о числе точек сдвинутой решётки под гиперболой 𝑥 · 𝑦 = 𝑁. Тула, 1996. Деп. в ВИНИТИ. N 2743-В-96.

18. Рощеня А. Л. Обобщение теоремы Дирихле о числе точек целочисленной решётки в гиперболическом кресте. Тула, 1997. Деп. в ВИНИТИ. N 2087-N-97.

19. Рощеня А. Л. Аналитическое продолжение гиперболической дзета-функции решёток./ Дис. ... канд. физ.-мат. наук. Москва. МПГУ, 1998.

20. Dobrovolskaya L. P., Dobrovolsky M. N., Dobrovol’skii N. M., Dobrovolsky N. N. On Hyperbolic Zeta Function of Lattices // Continuous and Distributed Systems. Solid Mechanics and Its Applications. Vol. 211. 2014. P. 23–62. doi: 10.1007/978-3-319-03146-0_2.