Топологическая классификация некомпактных 3-атомов с действием окружности

Аннотация

Для интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы рассматривается задача описания топологии слоения Лиувилля в 3-мерной некомпактной инвариантной
окрестности особого слоя. При этом все особенности системы предполагаются невырожденными. В случае, когда все слои компактны, эта задача решена: известная теорема А.Т. Фоменко утверждает, что любая невырожденная 3-мерная особенность (3-атом) представляет собой 𝑆1-расслоение специального вида (расслоение Зейферта) над двумерной особенностью (2-атомом). Тем самым задача топологической классификации 3-атомов сводится к
существенно более простому вопросу классификации 2-атомов (т. е. особенностей слоений, задаваемых функциями Морса на двумерных поверхностях). Последний вопрос хорошо изучен в рамках теории А.Т. Фоменко топологической классификации интегрируемых систем.
В некомпактном случае запас всех 3-атомов становится существенно шире. Поэтому мы ограничиваемся рассмотрением только таких 3-атомов, которые удовлетворяют следующим условиям: полнота гамильтоновых потоков, порождаемых первыми интеграла-
ми системы, конечность числа орбит гамильтонова действия группы R2 на особом слое и существование среди них нестягиваемой орбиты. При этих условиях мы доказываем
существование на 3-атоме гамильтонова локально свободного 𝑆1-действия, сохраняющего слои слоения Лиувилля. В качестве следствия мы получаем некомпактный аналог теоремы А.Т. Фоменко и тем самым сводим задачу классификации некомпактных 3-атомов, удовлетворяющих перечисленным условиям, к аналогичной классификационной задаче для некомпактных 2-атомов, решённой нами ранее.