Для интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы рассматривается задача описания топологии слоения Лиувилля в 3-мерной некомпактной инвариантнойокрестности особого слоя. При этом все особенности системы предполагаются невырожденными. В случае, когда все слои компактны, эта задача решена: известная теорема А.Т. Фоменко утверждает, что любая невырожденная 3-мерная особенность (3-атом) представляет собой 𝑆1-расслоение специального вида (расслоение Зейферта) над двумерной особенностью (2-атомом). Тем самым задача топологической классификации 3-атомов сводится ксущественно более простому вопросу классификации 2-атомов (т. е. особенностей слоений, задаваемых функциями Морса на двумерных поверхностях). Последний вопрос хорошо изучен в рамках теории А.Т. Фоменко топологической классификации интегрируемых систем.В некомпактном случае запас всех 3-атомов становится существенно шире. Поэтому мы ограничиваемся рассмотрением только таких 3-атомов, которые удовлетворяют следующим условиям: полнота гамильтоновых потоков, порождаемых первыми интеграла-ми системы, конечность числа орбит гамильтонова действия группы R2 на особом слое и существование среди них нестягиваемой орбиты. При этих условиях мы доказываемсуществование на 3-атоме гамильтонова локально свободного 𝑆1-действия, сохраняющего слои слоения Лиувилля. В качестве следствия мы получаем некомпактный аналог теоремы А.Т. Фоменко и тем самым сводим задачу классификации некомпактных 3-атомов, удовлетворяющих перечисленным условиям, к аналогичной классификационной задаче для некомпактных 2-атомов, решённой нами ранее.
For integrable Hamiltonian systems with two degrees of freedom we investigate the topology of the Liouville foliation in a 3-dimensional non-compact invariant neighborhood of a singularleaf. All the singularities of the system are supposed to be non-degenerate. In the case when all the leaves of the Liouville foliation are compact, this problem is already solved: the well-known A. T. Fomenko theorem states that any non-degenerate 3-dimensional singularity (3-atom) is an 𝑆1-fibration of the special type (Seifert fibration) over a 2-dimensional singularity (2-atom).Thus, the problem of the topological classification of 3-atoms is reduced to the significantly more simple classification problem for 2-atoms (i. e. singularities of foliations determined by Morsefunctions on 2-surfaces). The latter problem is well-studied in the framework of the Fomenko classification theory for integrable systems.In the non-compact case, the set of all 3-atoms becomes much richer. That is why we consider only 3-atoms satisfying the following conditions: completeness of the Hamiltonianflows generated by the first integrals of the system, finiteness of the number of orbits of the Hamiltonian R2-action on the singular leaf, and existence among these orbits of a noncontractible one. Under these restrictions, we proof that the 3-atom admits a Hamiltonian locally free 𝑆1-action preserving the leaves of the Liouville foliation. As a corollary, we obtain theanalogue of the Fomenko theorem and thus reduce the classification problem for non-compact 3-atoms satisfying the above conditions to the similar classification problem for non-compact 2-atoms that we solved earlier.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.