Об одном применении методов исследования алгебраической независимости гипергеометрических рядов и значений 𝑔-адических функций
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-2-528-535
Аннотация
В статье рассматриваются вопросы трансцендентности и алгебраической независимости, формулируется и доказываются теорема для некоторых элементов прямых произведений 𝑝-адических полей. Пусть Q𝑝 — пополнение Q по 𝑝-адической норме, поле Ω𝑝 — пополнение алгебраического замыкания Q𝑝, 𝑔 = 𝑝1𝑝2 . . . 𝑝𝑛 — произведение различных простых чисел, а пополнение Q по 𝑔-адической псевдонорме это кольцо Q𝑔, иными словами
Q𝑝1 ⊕ . . . ⊕ Q𝑝𝑛. Рассматривается кольцо Ω𝑔∼=Ω𝑝1 ⊕ . . . ⊕ Ω𝑝𝑛, содержащее Q𝑔 в качестве подкольца. Также, рассматриваются гипергеометрические ряды вида
$$𝑓(𝑧) =∞Σ︁𝑗=0((𝛾1)𝑗 . . . (𝛾𝑟)𝑗)/((𝛽1)𝑗 . . . (𝛽𝑠)𝑗)(𝑧𝑡)^𝑡𝑗 $$,
и их формальные производные. Получены достаточные условия, при которых значения ряда 𝑓(𝛼) и формальных производных удовлетворяют глобальному соотношению алгебраической независимости, если 𝛼 =∞Σ︀𝑘=1 𝑎𝑘𝑔^𝑟_𝑘 , где 𝑎𝑘 ∈ Z𝑔, а неотрицательные рациональные числа 𝑟_𝑘 образуют возрастающую и стремящуюся к +∞ при 𝑗 → +∞ последовательность.
Ключевые слова
Об авторе
Алексей Сергеевич Самсонов
Московский педагогический государственный университет
Россия
Россия
аспирант
Список литературы
1. Adams W. Transcendental numbers in the 𝑝-adic domain // Amer. J. Math., 1966, V. 88, P. 279–307.
2. Amice Y. Les nombers 𝑝-adiques. Presses Universitaires de France, Paris, 1975.
3. Bertrand D., Chirskii V. G., Yebbou J. Effective estimates for global relations on Euler-type series // Ann. Fac. Sci. Toulouse, 2004, V. XIII, №2, P. 241–260.
4. Боревич З. И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. 3-е изд. доп. М.: Наука, 1985.
5. Bundschuh P., Chirskii V.G. On the algebraic independence of elements from C𝑝 over Q𝑝, I // Arch. Math., 2002, V. 79, P. 345–352.
6. Bundschuh P., Chirskii V. G. On the algebraic independence of elements from C𝑝 over Q𝑝, II // ActaArithm., 2004, V. 113, №4, P. 309–326.
7. Bundschuh P., Chirskii V. G. Estimating polynomials over Z𝑝 at points from C𝑝 // Moscow Journ. of Comb. and Number Th., 2015, V. 5, iss. 1-2, P. 14–20.
8. Чирский В. Г. Метод Зигеля-Шидловского в р-адической области. // Фундаментальная и прикладная математика. 2005, Т. 11, №6, С. 221–230.
9. Chirskii V. G. Values of Analytic functions at points of C𝑝 // Russian Journ. of Math. Physics, 2013, V. 20, №2, P. 149–154.
10. Чирский В. Г. Арифметические свойства полиадических рядов с периодическими коэффициентами // Доклады академии наук, 2014, Т. 459, №6, С. 677–679.
11. Чирский В. Г. Об арифметических свойствах обобщённых гипергеометрических рядов с иррациональными параметрами // Изв. РАН. Сер. мат., 2014, Т. 78, №6, С. 193—210.
12. Чирский В. Г. Об арифметических свойствах ряда Эйлера // Вестник Моск. ун-та, Сер.1, мат., мех., 2015, №1, С. 59–61.
13. Чирский В. Г. Арифметические свойства целых полиадических чисел // Чебышёвский сборник, 2015, Т. 16, вып. 1, С. 254–264.
14. Чирский В. Г. Арифметические свойства полиадических рядов с периодическими коэффициентами // Изв. РАН. Сер. мат., 2017, Т. 81, №2, С. 215—232.
15. Chirskii V. G. Topical problems of the theory of transcendental numbers: Developments of approaches to tyeir solutions in the works of Yu.V. Nesterenko // Russian Journ. of Math. Physics, 2017, V. 24, №2, P. 153–171.
16. Чирский В. Г. Арифметические свойства обобщённых гипергеометрических f-рядов // Доклады академии наук, 2018, Т. 483, №3, С. 257—259.
17. Chirskii V. G. Arithmetic properties of generalized hypergeometric f-series // Doklady Mathematics, 2018, V. 98, №3, P. 589-–591.
18. Chirskii V. G. Product formula, global relations and polyadic integers // Russian Journ. of Math. Physics, 2019, V. 26, №3, P. 286–305.
19. Chirskii V. G. Arithmetic properties of generalized hypergeometric series // Russian Journ. of Math. Physics, 2020, V. 27, №2, P. 175–184.
20. Коблиц Н. 𝑝-адические числа, 𝑝-адический анализ и дзета-функции; пер. с англ. В. В. Шокурова, под ред. Ю.И. Манина. М.: Мир, 1982.
21. Mahler K. Uber transzendente 𝑝-adische Zahlen // Compos. Math. 1935, V. 2, P. 259–275.
22. Mahler K. 𝑝-adic numbers and their functions; second edition. Cambridge: Cambridge University Press, 1981.
23. Шидловский А. Б. Трансцендентные числа. М.: Наука, 1987.
Рецензия
Для цитирования:
Самсонов А.С. Об одном применении методов исследования алгебраической независимости гипергеометрических рядов и значений 𝑔-адических функций. Чебышевский сборник. 2021;22(2):528-535. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-2-528-535
For citation:
Samsonov A.S. One application on hypergeometic series and values of 𝑔-adic functions algebraic independence investigation methods. Chebyshevskii Sbornik. 2021;22(2):528-535. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-2-528-535
Просмотров: 239
Послать статью по эл. почте 