Об экстремальности аффинного образа топологического произведения некоторых многообразий

В теории диофантовых приближений рассматриваются вопросы приближения действительных чисел рацональными дробями с одинаковыми знаменателями. Среди интенсивно
изучаемых вопросов этой теории особое место занимают метрические аспекты. Здесь рассматриваются такие вопросы теории приближений, которые имеют место для почти всех
действительных чисел из заданного промежутка. Впервые подобные вопросы были изучены Хинчином для приближений независимых величин. Им были поучены условия, при которых для почти всех действительных чисел достигается указанная точность приближения рациональными дробями. Очень важный в техническом плане принцип переноса Хинчина позволяет связать совместные приближения зависимых величин с приближени-
ями целочисленных форм.
В 1932 г. Малер К. ввел в рассмотрение классификацию трансцендентных чисел. Он показал, что почти все трансцендентные числа являются 𝑆-числами. Более того, Малер доказал существование такой постоянной 𝛾 > 0 , что для почти всех 𝜔 

$$|𝑃(𝜔)| > ℎ^(−𝑛𝛾)$$,

каков бы ни был целочисленный многочлен 𝑃 степени не более 𝑛 и высоты ℎ > ℎ0(𝜔, 𝑛, 𝛾).
По Малеру можно взять

$$𝛾 = 4 + 𝜀.$$

В этой же работе Малер высказал предположение, что можно взять 𝛾 = 1 + 𝜀 для почти всех вещественных чисел.
Эту гипотезу доказал Спринджук В. Г. методом существенных и несущественных областей. Одновременно Спринджук В. Г. выдвинул несколько гипотез, обобщающие и уточняющие результаты Малера. В дальнейшем исследования Спринджука привели к развитию нового направления в теории диофантовых приближений–исследованию экстремальности
многообразий.
В настоящей статье мы развиваем новый подход к этим вопросам и предлагаем новое доказательство экстремальности алгебраических многообразий. Предлагаемый метод позволяет установить экстремальность аффинного образа топологических произведений
некоторых многообразий. На одном примере мы доказываем, что экстремальность таких многообразий можно вывести из теорем о показателе сходимости особого интеграла проблемы Терри, используя лемму Ковалевской Э. И. Далее из полученного результата мы выведем частный случай гипотезы Спринджука об экстемальности многообразия, поржденного одночленами некоторого многочлена от двух перменных.

1. Архипов Г. И., Карацуба А. А., Чубариков В. Н. Теория кратных тригонометрических сумм. M.: Наука, 1987, 368 с.

2. Берник В. И., Ковалевская Э. И. Экстремальное свойство некоторых поверхностей в n-мерном евклидовом пространстве. // Матем. заметки, 1974, том 15, выпуск 2, 247–254.

3. Касселe Дж. В. С. Введение в теорию диофантовых приближений. М.:ИИЛ, 1961, 212стр.

4. Джаббаров И. Ш., О показателе сходимости особого интеграла многомерной проблемы Терри, Чебышевский Сборник, 14:2 (2013), 74-103.

5. Джаббаров И. Ш. О многомерной проблеме Терри для кубческого многочлена // Математические заметки, том 107, выпуск 5, (2020), стр. 657-673 (в печати).

6. Ковалевская Э. И. Совместно экстремальные многообразия.// Матем. заметки, 1987, том 41, выпуск 1, 3–8.

7. Khintschine A., Uber eine Klasse linearer Diophantischer Approximationen, Circolo mat. Palermo 50, 1926, 175-195.

8. Mahler K. Zur Approximation der Exponentialfunktionen und des Logarithmus. I, II., J. reine und angew. Math., 1932, 166, S. 118—150.

9. Mahler K. Uber das Mass der Menge aller S-Zahlen.— Math. Ann., 1932, v. 106 pp. 131 — 139.

10. Спринджук В. Г. Метрическая теория диофантовых приближений. M.: Наука, 1977, 143 стр.

11. Спринджук В. Г. Доказательство гипотезы Малера о мере множества S-чисел // Изв. АН СССР. Сер. матем., 1965, т. 29 вып.2, стр. 379–436.

12. Kleinbock D. Y., Margulis G. A. Flows on homogeneous spaces and Diophantine approximation on manifolds // Ann. Math.—1998.—Vol. 148.—P. 339—360.

13. Шилов Г. Е. Математический анализ (функции нескольких вещественных переменных).– М.:Наука, 1972.