Бесконечная линейная и алгебраическая независимость значений 𝐹-рядов в полиадических лиувиллевых точках

В настоящей работе доказывается бесконечная линейная и алгебраическая независимость значений 𝐹-рядов в полиадических лиувиллевых точках. Используется модифика-
ция обобщенного метода Зигеля-Шидловского. 𝐹-ряд – это ряд вида 𝑓𝑛 =Σ︀∞𝑛=0 𝑎𝑛𝑛!𝑧𝑛, коэффициенты которого 𝑎𝑛 удовлетворяют некоторым арифметическим свойствам. Эти
ряды сходятся в поле Q𝑝 – 𝑝-адических чисел и их алгебрических расширений K𝑣. Полиадическое число – это ряд вида Σ︀∞𝑛=0 𝑎𝑛𝑛!, 𝑎𝑛 ∈ Z. Лиувиллево число – это вещественное число 𝑥 такое, что для всех положительных целых чисел 𝑛 существует бесконечное число пар целых чисел (𝑝, 𝑞), 𝑞 > 1 таких, что 0 <⃒𝑥 − 𝑝/𝑞|< 1/𝑞^𝑛 . Полиадическое лиувиллево число 𝛼 обладает тем свойством, что для любых чисел 𝑃,𝐷 существует целое число |𝐴| такое,
что для всех простых чисел 𝑝 ≤ 𝑃 выполняется неравенство |𝛼 − 𝐴|𝑝 < 𝐴−𝐷. Бесконечная линейная (алгебраичская) независимость означает, что для любой ненулевой линейной
формы (любого ненулевого многочлена) существует бесконечно много простых чисел 𝑝 и нормирований 𝑣, продолжающих 𝑝-адическое нормирование на алгебраическое числовое поле K, со следующим свойством: результат подстановки в рассматриваемую линейную
форму (многочлен) значений 𝐹-рядов вместо переменных является отличным от нуля элементом поля K𝑣.
Ранее было доказано лишь существование хотя бы одного простого числа 𝑝 с перечисленными выше свойствами.

1. Галочкин А. И. Об алгебраической независимости значений 𝐸 – функций в некоторых трансцендентных точках // Вестн. Московского университета. Сер. 1, Математика, механика. 1970. № 5. C. 58-63.

2. Bombieri E. On 𝐺 – functions // Recent Progress in Analytic Number Theory. V. 2. London: Academic Press, 1981. P. 1-68.

3. Шидловский А. Б. Трансцендентные числа // М. Наука. 1987.

4. Chirskii V. G. Product formula, global relations and polyadic integers // Russian Journal of Mathematical Physics, Maik Nauka/Interperiodica Publishing (Russian Federation), 2019, vol.

5. , no. 2, pp. 175-184.

6. Чирский В. Г. Об арифметических свойствах ряда Эйлера // Вестник Московского университета. Сер. 1: Математика, механика. — Изд-во Моск. универстита (М), 2015. № 1.

7. C. 59-61.

8. Чирский В. Г. Арифметические свойства полиадических рядов с периодическими коэффициентами // Известия РАН. Серия математическая, 2017. Том 81, № 1. C. 215-232 DOI.

9. Чирский В. Г. Арифметические свойства обобщённых гипергеометрических F-рядов // Доклады Академии наук. — Изд-во Наука (М), 2018. Том 483, № 1. C. 257-259.

10. Чирский В. Г. Арифметические свойства полиадических рядов с периодическими коэффициентами // Доклады Академии наук. — Изд-во Наука (М), 2014. Том 459, № 6. C. 677-679.

11. Чирский В. Г. Об арифметических свойствах обобщённых гипергеометрических рядов с иррациональными параметрами // Известия РАН. Серия математическая, 2014.

12. Том 78, № 6. C. 193-210

13. Чирский В. Г. Оценки линейных форм и многочленов от совокупностей полиадических чисел // Чебышевский сборник. 2011. Том 12, № 4. С. 129-133.

14. Чирский В. Г. О глобальных соотношениях // Мат. заметки. 1990. Том 48, № 2. С. 123-127.

15. Чирский В. Г. Арифметические свойства полиадических рядов с периодическими коэффициентами // Доклады Академии наук, математика. Наука (М). 2014. Том 459, № 6.

16. С. 677-679.

17. Чирский В. Г. Арифметические свойства полиадических рядов с периодическими коэффициентами // Известия РАН. Серия математическая. 2017. Том 81, выпуск 2. С. 215-232.

18. Чирский В. Г. О преобразованиях периодических последовательностей // Чебышевский сборник. 2016. Том 17, № 3. С. 180-185.

19. Чирский В. Г. Арифметические свойства полиадических чисел // Чебышевский сборник. 2015. Том 16, № 1. С. 254-264.

20. Andr´e Y. S´eries Gevrey de type arithm´etique. // Inst. Math., Jussieu.

21. Chirskii V. G. Arithmetic properties of Generalized Hypergeometric Series // Russian Journal of Mathematical Physics, Maik Nauka/Interperiodica Publishing (Russian Federation). 2020. Vol. 27, №2, pp. 175-184.

22. Matala–Aho T., Zudilin W. Euler factorial series and global relations. // J. Number Theory. 2018. 186, pp.202-210.

23. Bertrand D., Chirskii V. G., Yebbou Y. Effective estimates for global relations on Euler-type series // Ann. Fac. Sci. Toulouse. 2004. Vol. XIII, №2. pp. 241-260.