Об одном линейном диофантовом уравнении и его приложениях

В работе рассмотрено линейное диофантово уравнение с шестью переменными. Построено его решение как сдвинутая неполная пятимерная целочисленная решётка в шестимерном пространстве. Построен базис этой решётки.
Дано алгоритмическое решение нахождения всех его решений из заданного шестимерного целочисленного параллелепипеда. Для этого был построен новый базис этой неполной пятимерной решётки, который позволил написать эффективную программу нахождения всех наборов, удовлетворяющих данному диофантову уравнению и принадлежащих заданному прямоугольному параллелепипеду.
В результате работы предложенного алгоритма, реализованного в системе Mathcad, было показано, что из общего количества 10182290760 целых точек, лежащих в заданном параллелепипеде, только 7822045 удовлетворяют заданному диофантову уравнению.
Таким образом, полный перебор был сокращён в 1301,7 раза.
В статье рассмотрена связь сдвинутых решёток и задачи целочисленного программирования. Показано, как можно строить базисы неполных целочисленных решёток, которые
позволяют сокращать полный перебор по точкам s-мерного прямоугольного параллелепипеда на перебор по точкам сдвинутой неполной решётки, лежащим в этом параллелепипеде.
Рассмотрены некоторые приложения этого диофантова уравнения в технических вопросах, связанных с решением одной прикладной задачи машиностроения в области проектирования мерительного инструмента, в частности, наборов концевых мер длины.
В статье отражён итерационный характер уточнения математической модели указанной прикладной задачи. После первой корректировки модели количество наборов уменьшилось ещё в 193,237 раза, а после второй корректировки модели общее сокращение наборов пригодных для последующей оптимизации стало в 581114,6 раза. В заключении указаны направления дальнейших исследований и возможное применение идей нейросетей Хопфилда и машинного обучения для реализации отбора оптимальных решений.

1. Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. М.: Наука, 1985.

2. Виноградов И. М. Основы теории чисел М.: Наука 1982

3. ГОСТ 9038-90. Меры длины концевые плоскопараллельные. Технические условия (с Изменением N 1). УТВЕРЖДЕН И ВВЕДЕН В ДЕЙСТВИЕ Постановлением Государственного комитета СССР по управлению качеством продукции и стандартам от 25.01.90 №86.

4. Касселс Дж. В. С. Введение в геометрию чисел. — М.: Мир, 1965. — 420 с.

5. Г.Г. Малинецкий. Математические основы синергетики. Москва, URSS, 2009.

6. А. А. Муллабаев, А. П. Фот. Оптимизация наборов концевых мер и щупов // ВЕСТНИК ОГУ, 2005. — No 4. — С.152-153.

7. Св.-во гос. рег. прогр. для ЭВМ № 2016611967. Российская Федерация. Программа «Расчет набора концевых мер и его характеристик по универсальной функции и относительной металлоемкости» / А.П.Фот (RU), Р.М.Джалмухамедов (RU); правообладатель – федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет».– № 2015663252; дата поступления 28.12.2015 г.; дата регистр. в Реестре программ для ЭВМ 15.02.2016 г. – Опубл.20.03.2016 г.

8. Соболев С. Л. Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука, 1974.

9. Патент RU №2629686 С1 МПК G01B5/02 (2006.01). Универсальный набор концевых мер /М. Ю. Тарова (РФ), А. П. Фот (РФ); Акционерное общество "Военно-промышленная корпорация "Научно-производственное объединение машиностроения" (RU) — № 2016107665

10. — Заявлено 02.03.2016 — Решение о выдаче патента от 14.07.2017 — Опубл. 31.08.2017, Бюл. № 2.

11. Хинчин А. Я. Цепные дроби.– Харьков. 1956.

12. Фот, А. П. Об использовании математического моделирования в некоторых задачах машиностроения / А. А. Муллабаев, А. П. Фот, С. И. Павлов // Вестник ОГУ, 2006. — №2. — С. 75–82.

13. B.V.Kryzhanovsky, L.B.Litinskii, A.L.Mikaelian. «Vector-neuron models of associative memory», Proc. of Int. Joint Conference on Neural Networks IJCNN-04, Budapest-2004, pp.

14. –1004.

15. B.V.Kryzhanovsky, B.M.Magomedov, A.L.Mikaelian. «A Domain model of neural network», Doklady Mathematics vol.71, pp. 310–314 (2005).

16. TESA Technology:

17. https://technobearing.ru/d/877366/d/tesa2014-2015-compressed-206-221.pdf

18. Mitutoyo Corporation:

19. https://www.mitutoyo.co.jp/eng/products/gaugeblock/gaugeblock.html